Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном, «адиабатическом», изменении некоторых параметров физической системы. Адиабатичнисть изменения параметра означает, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе.

Классическая механика

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом T и зависит от параметра λ, адиабатичность изменения параметра определяется условием

.

Функция Гамильтона системы зависит от ее внутренних переменных и параметра

Внутренние переменные q и p меняются со временем быстро, с периодом T. Но энергия системы E является интегралом движения при неизменном параметре λ. При изменении параметра во времени

.

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр λ неизменен.

,

где усреднение определено как

.

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной q:

.

В таком случае период T равен

,

где интегрирование проводится вперед и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс, как функцию энергии E, координаты q и параметра, после некоторых преобразований можно получить

.

Окончательно, можно записать

,

где величина

,

и будет адиабатическим инвариантом. Интеграл берется по траектории движения при заданных E и λ

Свойства адиабатического инварианта

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделенном на 2π .

или

,

где ω — циклическая частота.

Адиабатический инвариант можно также выразить через площадь, ограниченную замкнутой траектории в фазовом пространстве

.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.