Алгоритм COS (Копперсмит, Одлыжко, Шреппель) — субэкспоненциальный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Был предложен в 1986 году.

Исходные данные

Пусть задано сравнение

Необходимо найти натуральное число x, удовлетворяющее сравнению (1).

Описание алгоритма

1 этап. Пусть

Сформируем множество

где q — простые.

2 этап. С помощью некоторого просеивания ищем пары  — такие, что , и

(рассматривается абсолютно наименьший вычет). При этом так как , то

причём это абсолютно наименьший вычет в этом классе и он имеет величину . Поэтому вероятность его гладкости выше, чем для произвольных чисел, меньших p-1.

Логарифмируя по основанию a, получим соотношение

Мы можем также считать, что a является гладким, то есть

откуда

3 этап. Набрав на 2-м этапе достаточно много уравнений, мы решим получившуюся систему линейных уравнений и найдём .

4 этап. Для нахождения x введём новую границу гладкости . Случайным перебором нахоим одно значение w, удовлетворяющее соотношению

u — простые числа «средней» величины.

5 этап. С помощью методов, анаогичных этапам 2 и 3, мы находим логарифмы простых чисел u, возникших на этапе 4.

6 этап. Находим ответ:

Оценка сложности

Данный алгоритм имеет сложность арифметических операций. Предполагается, что для чисел данный алгоритм более эффективен, чем решето числового поля.

Литература

• Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. — М.: МЦНМО, 2003. — 328 с. — ISBN 5-94057-103-4

• Joux A., Lercier R. (2003). «Improvements to the general number field sieve for discrete logarithms in prime fields. A comparison with the gaussian integer method». Math. Comp. 72: 953-967. 10.1090/S0025-5718-02-01482-5.