Бернард Больцано (чеш. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano; 5 октября 1781, Прага — 18 декабря 1848) — чешский математик, философ и теолог. Окончил Карлов университет в Праге (факультет философии в 1800, факультет теологии в 1805). Занимал кафедру истории религии Карлова Университета с 1805 по 1820, затем лишен права чтения лекций за «вольнодумство», после чего смог работать только над проблемами математики и логики.

Основные труды (в математике и логике):

• Наукоучение (1837, обзор традиционных логических учений с изложением основ логики)
• Парадоксы бесконечного (первое издание — 1851).

В трудах по логическим основаниям математического анализа Больцано первым подошел к арифметической теории действительного числа (в опубликованных рукописях 1816—1819). Им также были выдвинуты базисные теоремы и понятия математики, к которым мировая наука подошла существенно позднее: примеры непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций, полученные при помощи геометрических соображений (1830), и др. В труде «Парадоксы бесконечного» Больцано подошел к теории бесконечных множеств. Им была доказана теорема (известная как теорема Больцано-Вейерштрасса) о том, что каждое ограниченное бесконечное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Следуя Лейбницу, Больцано был убежден в объективности актуально бесконечного, однако различал при этом два рода существования объективного: как существование в себе (не реальное, однако все-таки возможное) и как существование, данное непосредственно (то есть действительное). Существование возможного объективного не зависит от субъективного знания, ибо создается не мышлением (Б. считал, что «…возможность мыслить вещь… не является основанием для возможности ее существования»), а чистыми понятиями, играющими роль определяющего начала и для всего реального, и для всего объективно возможного. Так как существование истин, вытекающих из ‘чистых понятий’, объективно возможно, то объективно возможно существование бесконечных множеств (как пишет Больцано, «…по крайней мере, среди вещей нереальных»: например, существует некое множество всех истин в себе, по сути своей являющееся бесконечным).

Труд Больцано «Парадоксы бесконечного» был опубликован ранее основополагающих работ Кантора в этом направлении. В своем учении Б. интегрировал ‘модифицированный’ платонизм (в учениях о чистых понятиях и об истинах в себе) и атомизм (по отношению к трансформациям простых субстанций в процессах взаимодействия). Выдвинул идею арифметической теории вещественного числа и доказал теорему Больцано-Вейерштрасса. В его сочинениях можно найти ряд фундаментальных понятий и теорем анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других математиков. В «Парадоксах бесконечного» (опубл. 1851) Больцано явился предшественником Кантора в исследовании бесконечных множеств.

По своим взглядам на будущее устройство общества он был утопическим социалистом. В своей книге "О наилучшем государстве" он выдвигал идеал общества, где не будет частной собственности и разрыва между умственным и физическим трудом, но будет сохранен аппарат государственного принуждения; хозяйство будет вестись на плановых началах.

Труды

• Больцано Б. Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один вещественный корень уравнения. В кн.: Э. Кольман. Бернард Больцано. М.: Изд. АН СССР, 1955, с. 170—204. (Переиздано в кн: Больцано, Коши, Дедекинд, Кантор. Непрерывность функций и числовых областей. Новосибирск, АНТ, 1998.)
• Больцано Б. Парадоксы безконечнаго. Одесса: Mathesis, 1911. (Переиздано в современной орфографии в кн: Парадоксы бесконечного. Минск: Изд. В. П. Ильина, 1999, с. 75-196.)
• Bolzano B. Schriften. Bd. I—II. Prag, 1930-31.
• Bolzano B. Early mathematical works. Prague, 1981.

Литература

• Кольман Э. Бернард Больцано. М.: Изд. АН СССР, 1955.
• Колядко В. И. Бернард Больцано. М.: 1982.
• Рыхлик К. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 515-532.