В математике для последовательности чисел бесконечное произведение

определяется как предел частичных произведений при . Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм. Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство . Следовательно, логарифм определён для всех , за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость, исключив из последовательность это конечное число членов, получим равенство:

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого , обозначим , тогда и , откуда следует неравенство:

которое показывает, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма .

Наиболее известные примеры бесконечных произведений, наверное, некоторые формулы для , такие как следующие два бесконечных произведения, доказанные соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

;

.

Представление функции в виде бесконечного произведения

Один важный результат о бесконечных произведениях — то, что любая целая функция , имеющая не более чем счётное количество нулей , где точка 0 — нуль порядка , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

,

где  — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд сходился. При соответственная множителю номер экспонента опускается (считается равной ).

Ссылки

• Infinite products from Wolfram Math World