Двудо́льный граф или бигра́ф — это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.

Определение

Неориентированный граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части , , , так, что

• ни одна вершина в не соединена с вершинами в и
• ни одна вершина в не соединена с вершинами в

Двудольный граф называется полным, если для каждой пары вершин существует ребро . Для

такой граф называется

Свойства

• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит цикла нечётной длины. Поэтому двудольный граф не может содержать клику размером более 2.
• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он 2-раскрашиваем (то есть его хроматическое число равняется двум)
• Граф разбивается на пары разноцветных вершин тогда и только тогда, когда любые элементов одной из долей связаны по крайней мере с элементами другой (Теорема Холла).
• Двудольный граф, у которого в каждой части больше 2 вершин, является непланарным.

Проверка двудольности

Для того, чтобы проверить граф на предмет двудольности, достаточно в каждой компоненте связности выбрать любую вершину и помечать оставшиеся вершины во время обхода графа (например, поиском в ширину или в глубину) поочерёдно как чётные и нечётные (см. иллюстрацию). Если при этом не возникнет конфликта, все чётные вершины образуют множество , а все нечётные — .

Применения

• Сети Петри
• Граф Леви
• Теория кодирования
  • Factor graph
  • Tanner graph

См. также

• Словарь терминов теории графов
• Биекция