20-04-2023
Гомологическая зеркальная симметрия — математическая гипотеза, высказанная Концевичем. Она ищет систематическое математическое объяснение феномену зеркальной симметрии, впервые запримеченному физиками при изучении теории струн.
В послании к Международному математическому конгрессу 1994 года в Цюрихе, Концевич предположил, что зеркальная симметрия для пары многообразий Калаби-Яу X и Y может быть объяснена как эквивалентность триангулированной категории, полученной из алгебраической геометрии X (приведённая категория когерентных пучков на X) и другой триангулированной категории, строящейся из симплектической геометрии Y (приведённая категория Фукая).
Эдвард Виттен изначально описал топологическое скручивание N=(2,2) суперсимметрических теорий поля в то, что он назвал A- и B-моделью топологической теории струн. Эти модели рассматривают отображения римановых поверхностей в нечто фиксированное — обычно многообразие Калаби-Яу. Большинство предположений относительно зеркальной симметрии включаются в физическую эквивалентность A-модели на Y с B-моделью на зеркальном ему X. Когда риманова поверхность не имеет границы, она представляет замкнутые струны. Чтобы покрыть случай открытых струн, нужно задать граничные условия для сохранения суперсимметрии. В A-модели, эти условия на подмногообразие суть бытность лагранжевость Y с некоторой дополнительной структурой (называемой иногда brane-структурой). В B-модели, эти граничные условия означают попросту голоморфность (или алгебраичность) подмногообразия в X с наличием голоморфного (или алгебраического) векторного расслоения на нём. Эти объекты используются для сооружения соответствующей категории. Они часто называются A- и B- бранами соответственно. Морфизмы в этих категориях даются невесомыми спектрами открытых струн, вытягивающихся промеж двух бран.
Для замкнутых струн A- и B-модели захватывают только так называемый топологический сектор — малую часть всей теории струн. Аналогично, браны в этих моделях суть только топологические приближения к полному динамическому объекту — D-бранам. При всём при том, математика, проистекающая из этого крохотного кусочка теории струн, и глубока и трудна.
Только на нескольких примерах удалось математикам проверить эту гипотезу. В своём изначальном послании Концевич упомянул, что гипотеза может быть доказана для эллиптических кривых с использованием тета-функций. Следуя этому пути, Александр Полищук и Эрик Заслоу предоставили доказательство версии этого результата для эллиптических кривых. Кендзи Фукая привёл фрагменты доказательства для абелевых многообразий. Позже, Концевич и Ян Сойбельман предоставили доказательство существенной части гипотез для неособых торических расслоений над аффинных многообразий, используя идеи SYZ-гипотезы. В 2003 Пол Сейдель доказал гипотезу для кватрик. В 2002 Hausel и Thaddeus объяснили SYZ-гипотезу в контексте систем Хитчина и двойственности Ленглендса.
Нижеприведённая таблица называется бриллиантом Ходжа, где размерности пространств (p,q)-дифференциальных форм hp,q выровнены так, чтобы координаты (p,q) образовывали стороны ромба. В случае p = 0, 1, 2, q = 0, 1, 2 бриллиант Ходжа выглядит так:
h2,2
h2,1 h1,2
h2,0 h1,1 h0,2
h1,0 h0,1
h0,0
В случае эллиптической кривой, будучи рассмотренной как одномерное Калаби-Яу, бриллиант Ходжа особенно прост: вот он.
1
1 1
1
В случае K3-поверхности, которую мы рассматриваем как двумерное Калаби-Яу, коль скоро её числа Бетти {1, 0, 22, 0, 1}, бриллиант Ходжа выглядит так.
1
0 0
1 20 1
0 0
1
В трёхмерном случае, обычно и называемом многообразие Калаби-Яу, случается кое-что поинтереснее. Они ходят зеркальными парами, скажем, M и W зеркальны, если их бриллианты Ходжа получаются друг из друга симметрией относительно диагональной прямой.
Бриллиант M:
1
0 0
0 a 0
1 b b 1
0 a 0
0 0
1
Бриллиант W:
1
0 0
0 b 0
1 a a 1
0 b 0
0 0
1
M и W соответствуют A- и B-модели в теории струн. Зеркальная симметрия переставляет не одни только гомологические размерности, но ещё разбивают симплектические структуры и комплексные структуры на зеркально-симметричные пары. Так и возникает гомологическая зеркальная симметрия.
Гомологическая зеркальная симметрия.