Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четверки чисел , , , (вещественных или комплексных) определяется как

Свойства

• Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.

Вариации и обобщения

Двойным (или сложным) отношением четверки точек , , , , лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число

где через , , , обозначены координаты точек , , , соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

подразумевая, что через (соответственно ) обозначено отношение направленных отрезков.

• Двойное отношение четверки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.

Двойным отношением четверки прямых , , , , проходящих через одну точку, называют число

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми и , не пересекается ни с одной из прямых или (в этом случае говорят, что пара прямых и не разделяет пару прямых и ), то ; в противном случае .

• Пусть четверка прямых , , , проходит через точку , а прямая не содержит . Предположим прямые , , , пересекаются с соответственно в точках , , и . Тогда

См. также

• Простое отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика?
• Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.