В алгебре дифференцирование — это операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Определение

Пусть  — алгебра над кольцом . Дифференцирование алгебры  — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница:

В более общем случае дифференцирование коммутативной со значениями в -модуле  — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае называют дифференциальным модулем над Множество всех дифференцирований со значениями в обозначается (, ) и является -модулем. Функтор является представимым, его представляющий объект обозначается или и называется модулем кэлеровых дифференциалов. является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над , то есть существует такое дифференцирование , что любое дифференцирование пропускается через :

Свойства

• имеет естественную структуру алгебры Ли:
• Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если  — алгебра с единицей, то для любого -модуля

Здесь  — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из в .

• является функтором из в .

Градуированное дифференцирование

Пусть  — -градуированная алгебра, градуировку элемента обозначим . Правильным аналогом дифференцирований в этом случае являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями степени , удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби ():

Если , то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если , то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

Литература

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, <http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html> .

См. также

• Дифференциальная алгебра