01-10-2023
Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos-complement) — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, чем упрощает архитектуру ЭВМ. Дополнительный код отрицательного числа можно получить инвертированием модуля двоичного числа (первое дополнение) и прибавлением к инверсии единицы (второе дополнение). Либо вычитанием числа из нуля.
Дополнительный код (дополнение до 2) двоичного числа получается добавлением 1 к младшему значащему разряду его дополнения до 1. [1]
Дополнение до 2 двоичного числа определяется как величина полученная вычитанием числа из наибольшей степени двух (из 2N для N-битного дополнения до 2).
При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом. Если число, записанное в прямом коде, отрицательное, то все разряды числа инвертируются, а к результату прибавляется 1. К получившемуся числу дописывается старший (знаковый) разряд, равный 1.
Двоичное 8-ми разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах равно , что равно 127.
Примеры:
Десятичное представление |
Код двоичного представления (8 бит) | |
---|---|---|
прямой | дополнительный | |
127 | 01111111 | 01111111 |
1 | 00000001 | 00000001 |
0 | 00000000 | 00000000 |
-0 | 10000000 | -------- |
-1 | 10000001 | 11111111 |
-2 | 10000010 | 11111110 |
-3 | 10000011 | 11111101 |
-4 | 10000100 | 11111100 |
-5 | 10000101 | 11111011 |
-6 | 10000110 | 11111010 |
-7 | 10000111 | 11111001 |
-8 | 10001000 | 11111000 |
-9 | 10001001 | 11110111 |
-10 | 10001010 | 11110110 |
-11 | 10001011 | 11110101 |
-127 | 11111111 | 10000001 |
-128 | -------- | 10000000 |
При применении той же идеи к привычной 10-ричной системе счисления получится (например, для гипотетического процессора использующего 10-ричную систему счисления):
10-ричная система счисления ("обычная" запись) |
10-ричная система счисления, дополнительный код |
---|---|
... | ... |
13 | 0013 |
12 | 0012 |
11 | 0011 |
10 | 0010 |
9 | 0009 |
8 | 0008 |
... | ... |
2 | 0002 |
1 | 0001 |
0 | 0000 |
-1 | 9999 |
-2 | 9998 |
-3 | 9997 |
-4 | 9996 |
... | ... |
-9 | 9991 |
-10 | 9990 |
-11 | 9989 |
-12 | 9988 |
... | ... |
Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.
Пример. Преобразуем отрицательное число −5, записанное в прямом коде, в дополнительный. Прямой код числа −5, взятого по модулю:
101
Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:
010
Добавим к результату 1
011
Допишем слева знаковый единичный разряд
1011
Для обратного преобразования используется тот же алгоритм. А именно:
1011
Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:
0100
Добавим к результату 1 и проверим, сложив с дополнительным кодом
0101 + 1011 = 10000, пятый разряд выбрасывается.
Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении десятичных чисел: для каждого разряда цифра X заменяется на 9−X, и к получившемуся числу добавляется 1. Например, при использовании четырёхзначных чисел −0081 заменяется на 9919 (9919+0081=0000, пятый разряд выбрасывается).
В системе p-адических чисел изменение знака числа осуществляется преобразованием числа в его дополнительный код. Например, если используется 5-ричная система счисления, то число, противоположное 1000... (1) равно 4444.... (−1).
if a<0 then a:=((not a) or 128) + 1;
if (a < 0) a = ( (~a)|128 ) + 1;
Если происходит чтение данных из файла или области памяти, где они хранятся в двоичном дополнительном коде (например, файл WAVE), может оказаться необходимым преобразовать байты. Если данные хранятся в 8 битах, необходимо, чтобы значения 128-255 были отрицательными.
byte b1 = 254; //11111110 (бинарное) byte b2 = 121; //01111001 (бинарное) byte c = 1<<(sizeof(byte)*8-1); //2 возводится в степень 7. Результат: 10000000 (бинарное) byte b1Conversion=(c ^ b1) - c; //Результат: -2. А фактически, двоичный дополнительный код. byte b2Conversion=(c ^ b2) - c; //Результат остаётся 121, потому что знаковый разряд - нуль.
Дополнительный код (представление числа).