Ряды Фарея (также дроби Фарея, последовательность Фарея или таблица Фарея) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел.

Определение

Последовательность Фарея -ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен :

Последовательность Фарея порядка можно построить из последовательности порядка по следующему правилу:

1. Копируем все элементы последовательности порядка .
2. Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка дает число не большее, чем , вставляем между этими дробями их медианту, равную отношению суммы их числителей к сумме знаменателей.

Пример

Последовательности Фарея для от 1 до 8:

Свойства

Доказательство. Заметим, что треугольник на плоскости с вершинами , и не может содержать целых точек, отличных от вершин. Иначе, если целая точка содержится в , то дробь лежит между и , а знаменатель не превосходит . Значит, по формуле Пика, его площадь равна . С другой стороны, площадь равна . Ч. т. д.

Справедливо и обратное утверждение: если дроби таковы, что , то они представляют собой соседние члены ряда Фарея .

История

Джон Фарей (John Farey) — известный геолог, один из пионеров геофизики. Его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «On a curious property of vulgar fractions» («О интересном свойстве обыкновенных дробей»), в которой Фарей определил последовательность . Эта статья Фарея дошла до Коши, который в том же году опубликовал доказательство. Интересен тот факт, что последовательность, описанная Фареем в 1816 году, была использована Харосом в его статье 1802 года о приближении десятичных дробей обыкновенными дробями.

См. также

• Дерево Штерна — Броко
• Функция Минковского

Ссылки

• Кноп К. Недвоичная система // Домашний компьютер. — 2001. — № 8.
• Weisstein, Eric W. Farey Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Числители и знаменатели рядов Фарея: последовательность A006842 в OEIS и последовательность A006843 в OEIS.