Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

,

где функции называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства , при этом функция называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

,

,

то:

Список интегральных преобразований

• Интегральное преобразование Абеля
• Преобразования Бесселя
• Преобразование Бушмана
• Преобразование Бэйтмена
• Преобразование Вейерштрасса
• Преобразование Ханкеля
• Преобразование Гегенбауэра
• Преобразование Гильберта
• Преобразование Конторовича — Лебедева
• Одностороннее преобразование Лапласа
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Мейера
• Преобразование Мелера — Фока
• Преобразование Меллина
• Преобразование Нерейна
• Преобразование Радона
• Преобразование Стилтьеса
• Преобразование Фурье
• Преобразование Хартли
• Преобразование Лагерра

Литература

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961

См. также

• Дискретные преобразования

Ссылки

• Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.