Квадрат (алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Квадрат (значения).

y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́том числа называется результат умножения числа на себя (возведения числа в степень 2).

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849...

Способы представления

Квадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечетных чисел:

...

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:

Пример:

...

Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле:

Вывод

Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до :

Получим:

Умножим на 2 и перегруппируем:

(В рассуждениях использована формула: , вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени может быть выражена как функция степени. Исходя из этого факта предположим:

Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:

$\begin{cases} 0A + 0B + 0C + D = 0 \\ A + B + C + D= 1 \\ 8A + 4B + 2C + D = 5\\ 27A + 9B + 3C + D = 14 \\ \end{cases}$

Решив её, получим

Таким образом:

Примечание: более подробную информацию можно прочитать в этой книге в параграфе 2.5.

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература

Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также

Извлечение квадратного корня — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
Куб числа
Обобщение на более высокие степени на Вольфраме.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации