Отношение эквивалентности () на множестве  — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: для любого в ,
2. Симметричность: если , то ,
3. Транзитивность: если и , то .

Запись вида «» читается как « эквивалентно ».

Связанные определения

• Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных . Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если , то .

Множество всех классов эквивалентности обозначается .

• Для класса эквивалентности элемента используются следующие обозначения: , , .
• Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.

Примеры отношений эквивалентности

• Равенство («»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
• В Евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («»).
  • Отношение подобия («»).
  • Отношение параллельности прямых («»).
• Эквивалентность функций в математическом анализе:

  Говорят, что функция эквивалентна функции при , если она допускает представление вида , где при . В этом случае пишут , напоминая при необходимости, что речь идет о сравнении функций при . Если при , эквивалентность функций и при , очевидно, равносильна соотношению .

• Отношение равномощности множеств.

Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом и называется фактор-множеством относительно . При этом сюръективное отображение

называется естественным отображением (или канонической проекцией) на фактор-множество .

Пусть ,  — множества,  — отображение, тогда бинарное отношение определённое правилом

является отношением эквивалентности на . При этом отображение индуцирует отображение , определяемое правилом

или, что то же самое,

.

При этом получается факторизация отображения на сюръективное отображение и инъективное отображение .

Литература

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• В. В. Иванов, Математический анализ. НГУ, 2009.

См. также

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства