Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.

Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариациями между компонентами.

Определения

• Пусть ,  — два случайных вектора размерности и соответственно. Пусть также случайные величины имеют конечный второй момент, то есть . Тогда матрицей ковариации векторов называется

то есть

,

где

.

• Если , то называется матрицей ковариации вектора и обозначается .^[1]Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а ее след — скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом (или эллипсом в двумерном случае).

Свойства матриц ковариации

• Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:

.

• Матрица ковариации случайного вектора неотрицательно определена^[1]:

.

• Смена масштаба:

.

• Если случайные векторы и нескоррелированы (), то

.

• Матрица ковариации аффинного преобразования:

,

где  — произвольная матрица размера , а .

• Перестановка аргументов:

• Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:

,

.

• Если и независимы, то

.

Примечания