В теории чисел композицией, или разложением, натурального числа называется его представление в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых. Слагаемые, входящие в композицию, называют частями, а их количество — длиной композиции.

В отличие от композиции, разбиение числа не учитывает порядок следования частей. Поэтому число разбиений числа никогда не превосходит числа композиций.

При фиксированной длине композиций в них иногда также допускают нулевые части.

Примеры

Существует 16 композиций числа 5:

Количество композиций

В общем случае существует композиций числа n, из которых в точности имеют длину k. Для доказательства этого утверждения достаточно построить биекцию между композициями n длины k и -элементными подмножествами -элементного множества. Поставим в соответствие композиции подмножество множества , состоящее из частичных сумм: . Очевидно, у этого соответствия есть обратное: по подмножеству , элементы которого упорядочены по возрастанию, можно восстановить исходную композицию:

, при и, наконец, .

Таким образом, построенное отображение биективно, и поэтому количество композиций числа n длины k равно количеству -элементных подмножеств -элементного множества, то есть биномиальному коэффициенту . Для подсчета общего числа композиций числа n достаточно или просуммировать эти биномиальные коэффициенты, или использовать то же отображение для построения биекции между всеми композициями числа n и всеми подмножествами -элементного множества.

Если в композициях числа n длины k разрешить нулевые части, то количество таких композиций будет равно , поскольку прибавление 1 к каждой части даёт композицию числа n + k уже без нулевых частей. Вопрос об общем количестве композиций числа n с возможными нулевыми частями лишён смысла, так как оно бесконечно.

См. также

• Разбиение числа

Литература

• Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.: Наука, 1977. — С. 241. — 319 с.