Кошмар Фубини

Кошмар Фубини (англ. Fubini Nightmare) — название кажущегося нарушения теоремы Фубини в не-абсолютно непрерывных слоениях с гладкими слоями. Состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную!) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является абсолютно непрерывным.

Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для частично-гиперболических динамических систем «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь гёльдерово, но не абсолютно непрерывно.

Иллюстративная версия кошмара Фубини была придумана А. Катком и опубликована Дж. Милнором в работе «Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory», а в 2000 году динамическая реализация такого примера была построена для случая центрального слоения в работе Э. Вилкинсон и М. Шуба «Pathological foliations and removable zero exponents».

Содержание

1 Конструкция Катка
- 1.1 Слоение
- 1.2 Множество
2 Конструкция Вилкинсона — Шуба
3 Литература

Конструкция Катка

Слоение

Для любого p, 0<p<1, можно рассмотреть кодирование точек отрезка [0,1] последовательностями нулей и единиц, с делением очередного отрезка в отношении . (Как и при обычном кодировании, при этом будет иметь место отождествление 0 с хвостом из единиц и 1 с хвостом из нулей.)

Точка, кодирующаяся данной последовательностью , может быть несложно задана явно: отрезок, полученный после первых n делений, имеет длину $l_n= p^{\# \{j\le n: a_j=1\}} (1-p)^{\# \{j\le n: a_j=0\}},$ поэтому соответствующая точка равна $F_p(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n: a_n=1} a_n (1-p) l_{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n p^{\# \{j\le n-1: \, a_j=1\}} (1-p)^{1+\,\# \{j\le n-1: \, a_j=0\}}.$

Слоение Катка

Для фиксированной последовательности отображение аналитично. (Проще всего это следует из теоремы Вейерштрасса и того факта, что задающий его ряд сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов .)

Поэтому разбиение квадрата на графики по переменной p отображений — кривые , с параметром a, пробегающим , — слоение на аналитические кривые.

Множество

При любом фиксированном p, цифры , … кодирования случайной (выбираемой в соответствии с мерой Лебега) точки — независимые бернуллевские случайные величины, принимающие значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p.

В силу закона больших чисел, при любом p для почти всех x выполнено

$\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j(x;p) \to p, \quad n\to\infty.$

Из теоремы Фубини тогда вытекает, что множество

$M:= \left\{ (p,x) \mid \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j(x;p) \xrightarrow[n\to\infty]{} p. \right\}$

имеет полную меру Лебега в квадрате .

Однако для любой фиксированной последовательности предел её чезаровских средних, если он существует, единственен. Поэтому любая кривая либо вообще не пересекает множество M (если предела нет), либо пересекает в единственной точке (p,F_p(a)), где

$p=\lim_{n\to\infty} \frac{a_1+\dots+ a_n}{n}.$

Таким образом, для построенных слоения и множества M имеет место «кошмар Фубини».

Конструкция Вилкинсона — Шуба

Вилкинсон и Шуб рассматривали диффеоморфизмы, являющиеся малыми возмущениями диффеоморфизма трёхмерного тора , где — диффеоморфизм Аносова. Это отображение, а, значит, и близкие к нему частично гиперболичны. Более того, центральные слои возмущённых отображений будут являться гладкими окружностями, близкими к исходным.

Возмущение Вилкинсон — Шуба, которое берётся в классе сохраняющих меру Лебега отображений, делало диффеоморфизм эргодичным, но при этом центральный показатель Ляпунова становился ненулевым. С точностью до обращения, его можно считать положительным. Тогда множество точек, центральный показатель Ляпунова для которых положителен, имеет в полную меру Лебега.

С другой стороны, центральные слои-окружности имеют ограниченную сверху длину, поэтому на каждой из них множество точек, в которых происходит растяжение в центральном направлении, обязано иметь меру ноль. Более тонкие рассуждения показывают, что, более того, это множество обязано состоять из конечного числа точек, то есть имеет место «кошмар Фубини».

Литература

J. Milnor, Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory. Math. Intelligencer 19 (1997), no. 2, 30—32.
M. Shub, A. Wilkinson, Pathological foliations and removable zero exponents, Invent. math. 139 (2000), 495—508.

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации