Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения

• Рассмотрим отрезок числовой прямой с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек найдётся непрерывное отображение такое, что

• Пусть дано подмножество . Тогда на нём естественным образом определяется топология , индуцированная . Если пространство линейно связно, то подмножество также называется линейно связным в .

Связанные определения

• Каждое линейно связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства .
  • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно не связным.
• Если существует база топологии пространства , состоящая из линйно связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально линйно связными.

Примеры

• Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно не связного пространства.

Свойства

• Всякое линейно связное пространство связно.

• Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).
• Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда когда оно связно.

• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
• Если пространство линейно связно и , то гомотопические группы и изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма .

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что , а  — стандартная топология числовой прямой. Тогда

• Подмножество линейно связно тогда и только тогда, когда

то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.

• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным, открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является -связность (связность в размерности ). Пространство называется связным в размерности , если любое отображение -мерной сферы в , где , гомотопно постоянному отображению.

В частности, линейно связное пространство это 0-связное пространство, то есть любое отображение двоеточия (то есть нульмерной сферы) гомотопно постоянному отображению.