22-10-2023
Мера иррациональности действительного числа — это действительное число , показывающее, насколько хорошо может быть приближено рациональными числами.
Содержание |
Пусть — действительное число, и пусть — множество всех чисел таких, что неравенство имеет конечное число решений при целых при сколь угодно больших знаменателях . Тогда мера иррациональности числа определяется как . Формально
и . Если , то полагают .
Другими словами, — наименьшее число такое, что для любого для всех рациональных приближений с достаточно большим знаменателем верно, что
Если — разложение числа в цепную дробь, и — n-ая подходящая цепная дробь, то . С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения , и тогда .
По лемме Дирихле, если иррационально, то , то есть . В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа степени можно подобрать константу такую, что . D 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955, полученную теорему называют теоремой Туэ-Зигеля-Рота (англ.)русск.. Она утверждает, что если — алгебраическое иррациональное число, то . Рот за её доказательство получил Филдсовскую премию.
Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что , а числа Лиувилля имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. К примеру:
Мера иррациональности.