Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2].
История
Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э.
Описание метода
Пусть исходная система выглядит следующим образом
![\left\{\begin{array}{lcr}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m \\
\end{array}\right.\iff Ax = b,\quad A=\left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\ldots & & \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}
\end{array}\right),\quad x = \left( \begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), \quad b = \left( \begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right).\quad (1)](//upload.wikimedia.org/math/8/0/4/804d4d8007c48c6a0f855cd664d34edb.png)
Матрица называется основной матрицей системы, — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
![\left\{\begin{array}{rcl}
\alpha_{1j_1}x_{j_1}+\alpha_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{1j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{1j_n}x_{j_n} &=& \beta_1 \\
\alpha_{2j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{2j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{2j_n}x_{j_n} &=& \beta_2 \\
&\ldots& \\
\alpha_{rj_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{rj_n}x_{j_n} &=& \beta_r \\
0 &=& \beta_{r+1} \\
&\ldots& \\
0 &=& \beta_m
\end{array}\right.,\qquad \alpha_{1j_1},\ldots,\alpha_{rj_r}\neq 0.](//upload.wikimedia.org/math/b/c/2/bc2b83ab783eda5084f70dd36855d3cb.png)
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [3].
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.
Пусть для любых .
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где — номер строки):
,
где
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
|
Следствия:
1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.
2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.
|
|
Условие совместности
Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:
Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
|
Теорема Кронекера — Капелли.
Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.
Следствия:
- Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения.
- Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.
|
|
Алгоритм
Описание
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
- На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
- На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Метод Гаусса требует порядка действий.
Этот метод опирается на:
|
Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).
Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. |
|
Простейший случай
В простейшем случае алгоритм выглядит так:
![\left\{\begin{array}{lcc}
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n} \cdot x_n & = b_1 & (1) \\
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots + a_{2n} \cdot x_n & = b_2 & (2) \\
\ldots & & \\
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn} \cdot x_n & = b_m & (m)
\end{array}\right.](//upload.wikimedia.org/math/0/6/f/06fe044bd9f3f437c3ff1d11ce6fd3f6.png)
![\begin{array}{ccc}
(2)\to (2)-(1) \cdot ( \frac {a_{21}}{a_{11}}) &:& a_{22}^{\prime} \cdot x_2 + a_{23}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{2n}^{\prime} \cdot x_n = b_2^{\prime} \\
(3)\to (3)-(1) \cdot ( \frac {a_{31}}{a_{11}}) &:& a_{32}^{\prime} \cdot x_2 + a_{33}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime} \\
\ldots & & \\
(m)\to (m)-(1) \cdot ( \frac {a_{m1}}{a_{11}}) &:& a_{m2}^{\prime} \cdot x_2 + a_{m3}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{mn}^{\prime} \cdot x_n = b_n^{\prime} \\
(3)\to (3)-(2) \cdot ( \frac {a_{32}^{\prime}}{a_{22}^{\prime}}) &:& a_{33}^{\prime\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime\prime} \\
\ldots & & \\
(m)\to (m)-(m-1) \cdot ( \frac {a_{m,n-1}^{(m-2)}}{a_{m-1,n-1}^{(m-2)}}) &:& a_{mm}^{(m-1)} \cdot x_m + \ldots + a_{mn}^{(m-1)} \cdot x_n = b_m^{(m-1)}
\end{array}](//upload.wikimedia.org/math/3/9/9/39900d3faa63a67ffbef2cfd6e599a60.png)
- Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.
Пример
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
![\left\{\begin{array}{ccc}2x + y - z &=& 8 \\
-3x - y + 2z &=& -11 \\
-2x + y + 2z &=& -3 \end{array}\right.](//upload.wikimedia.org/math/5/8/9/5899c579e3656e7ef4198789281353e2.png)
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:
![\left\{\begin{array}{rcc}
2x + y - z &=& 8 \\
\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z &=& 1 \\
2y + z &=& 5 \end{array}\right.](//upload.wikimedia.org/math/9/5/f/95f6ee16dd8ef0d7ae66ece98ad97cc4.png)
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :
![\left\{\begin{array}{rcc}
2x + y - z &=& 8 \\
\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z &=& 1 \\
-z &=& 1 \\ \end{array}\right.](//upload.wikimedia.org/math/d/a/e/daee045f65f5789e75cca6fe097b4c64.png)
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
- из третьего;
- из второго, подставив полученное
- из первого, подставив полученные и .
Таким образом исходная система решена.
В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.
Применение и модификации
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:
- нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса—Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );
- определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера—Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
- численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).
Достоинства метода
- Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
- Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
- Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы[4].
См. также
Линейная алгебра
Методы оптимизации
Численные методы
Примечания
- ↑ Гаусс, Карл Фридрих (1777—1855) — немецкий математик, физик и астроном
- ↑ Н. Ш. Кремер, 2.3. «Метод Гаусса», стр. 44
- ↑ Такого расположения минора можно добиться перестановкой столбцов основной матрицы и соответствующей перенумерацией переменных.
- ↑ Н. Ш. Кремер, 2.4. «Система m линейных уравнений с n переменными», стр. 49
Литература
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
- Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
- Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
- Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
- Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с. — ISBN 5-238-00991-7