Для линейных молний характерно форма в виде, для линейных композиций наиболее актуальными являются

У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Якоби.

Метод Якоби — метод простой итерации для решения системы линейных алгебраических уравнений.

Содержание

1 Постановка задачи
2 Описание метода
3 Условие сходимости
4 Условие остановки
5 Алгоритм
6 См. также

Постановка задачи

Возьмём систему линейных уравнений:

, где $A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right),\quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$

Или $\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n& = & b_{1} \\ \ldots ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_{n} \end{array} \right.$

Описание метода

Для того, чтобы построить итеративную процедуру метода Якоби, необходимо провести предварительное преобразование системы уравнений к итерационному виду . Оно может быть осуществлено по одному из следующих правил:

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули, — единичная матрица.

Тогда процедура нахождения решения имеет вид:

где счётчик итерации.

В отличие от метода Гаусса-Зейделя мы не можем заменять на в процессе итерационной процедуры, т.к. эти значения понадобятся для остальных вычислений. Это наиболее значимое различие между методом Якоби и методом Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Таким образом на каждой итерации придётся хранить оба вектора приближений: старый и новый.

Условие сходимости

Приведем достаточное условие сходимости метода.

Теорема.
Пусть . Тогда при любом выборе начального приближения :

метод сходится;
скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем ;
верна оценка погрешности: .

Условие остановки

Условие окончания итерационного процесса при достижении точности в упрощённой форме имеет вид:

(Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений)^{[источник не указан 718 дней]}

Алгоритм

Ниже приведён алгоритм реализации на C++

#include <math.h>
#define eps 0.001 //желаемая точность 
 
..........................
 
void Jacobi (int N, double **A, double *F, double *X)
// N - размерность матрицы; A[N][N] - матрица коэффициентов, F[N] - столбец свободных членов,
// X[N] - начальное приближение, ответ записывается также в X[N];
{
        double * TempX = new double[N];
        double norm; // норма, определяемая как наибольшая разность компонент столбца иксов соседних итераций.
 
        do {
                for (int i = 0; i < N; i++) {
                        TempX[i] =- F[i];
                        for (int g = 0; g < N; g++) {
                                if (i != g)
                                        TempX[i] += A[i][g] * X[g];
                        }
                        TempX[i] /= -A[i][i];
                }
                norm = fabs(X[0] - TempX[0]);
                for (int h = 0; h < N; h++) {
                        if (fabs(X[h] - TempX[h]) > norm)
                                norm = fabs(X[h] - TempX[h]);
                        X[h] = TempX[h];
                }
        } while (norm > eps);
        delete[] TempX;
}

См. также

Метод Гаусса — Зейделя

Для линейных молний характерно форма в виде, для линейных композиций наиболее актуальными являются.

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации