В математике, Многочлены Лягерра, названные в честь Эдмона Лягерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лягерра:

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Это уравнение имеет несингулярное решение только в случае, когда n неотрицательное целое. Многочлены Лягерра также используются в квадратурной формуле Гаусса-Лягерра численного вычисления интегралов вида: .

Многочлены Лягерра, обычно обозначающиеся как , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

Последовательность полиномов Лягерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лягерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лягерра.

Несколько первых многочленов

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лягерра:

Рекуррентная формула

Полиномы Лягерра можно определить рекуррентной формулой:

предопределив первые два полинома как:

Обобщённые полиномы Лягерра

Обобщённые полиномы Лягерра имеют вид:

где:

• — главное (радиальное) квантовое число;
• — орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Обобщённые полиномы Лягерра являются решениями уравнения:

так что .