16-08-2023
Множество Витали — первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, опубликовал в 1905 году итальянский математик Дж. Витали в своей статье «Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta».
Годом ранее статьи Витали, в 1904 году, Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры и высказал надежду, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора.
Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на отрезке : если разница рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество представителей будет неизмеримым.
Действительно, если сдвинуть счётное число раз на все рациональные числа из интервала , то объединение будет содержать весь отрезок но при этом оно будет содержаться в отрезке . При этом «сдвинутые копии» множества не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения и .
Предположим, что измеримо по Лебегу, тогда возможны 2 варианта.
В обоих случаях получается противоречие. Таким образом, множество Витали не измеримо по Лебегу.
Множество Витали.