09-09-2023
Момент инерции | |
Размерность |
L2M |
---|---|
Единицы измерения | |
СИ | |
СГС |
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Обозначение: I или J.
Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.
Содержание |
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
где:
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
где:
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен
,
где — полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции Ja |
---|---|---|---|
Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | ||
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | ||
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | ||
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1 | Ось цилиндра | ||
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | ||
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | ||
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | ||
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | ||
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | ||
Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | ||
Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | ||
Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | ||
Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | ||
Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной конус
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Интегрируя, получим
Сплошной однородный шар
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Тонкостенная сфера
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. [3][4]
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида
где — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки.
Единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см4.
Из него выражается момент сопротивления сечения:
Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
---|---|
Прямоугольника высотой и шириной : | |
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно | |
Круга диаметром |
Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина
,
где:
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:
где — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на
и произведя замены:
получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :
Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:
Момент вращения.