Неравенство Брунна — Минковского

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Пусть и — компактные тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского , , то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств и в отношении к . Тогда функция

Более того, функция линейна в том и только в том случае, когда и гомотетичны.

Следствия

Теорема Бибербаха о максимальном свойстве шара:

В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём.

Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу и к его центральносимметричной копии .

Теорема установлена Брунном (англ.) в 1887, уточнена и дополнена Минковским^[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником^[2].

↑ Minkowski Hermann Geometrie der Zahlen. — Leipzig: Teubner, 1896.
↑ Lyusternik, Lazar A. (1935). «Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen». Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) III: 55–58.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.