Нормальное число по основанию n () — всякое действительное число, в записи которого в n-ричной системе счисления каждая группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n^-k для каждого k = 1, 2, ….

Числа, нормальные по любому основанию n, называются нормальными или абсолютно нормальными.

Основные свойства и примеры

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.

Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10^[1]. В то же время неизвестно нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2^[2].

В 2002 году Бехер и Фигейра^[3] доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.

Открытые проблемы

Существует общее мнение, что числа π и e нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого неясны.

Примечания