Ограниченное множество

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Содержание

1 Ограниченное числовое множество
2 Вариации и обобщения
- 2.1 Ограниченное множество в метрическом пространстве
- 2.2 Ограниченность в частично упорядоченном множестве
3 См. также

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число , такое что все элементы не превосходят :

$\exists b \; \forall x \; (x \in X \Rightarrow x \leqslant b)$

Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число , такое что все элементы не меньше : $\exists b \; \forall x \; (x\in X \Rightarrow x \geqslant b)$

Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок ,

неограниченного — множество всех целых чисел ,

ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч ,

ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч .

Вариации и обобщения

Ограниченное множество в метрическом пространстве

Пусть — метрическое пространство. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре :

$\exists a \in X \; \exists (r > 0) \; \forall x \in X (x \in M \Rightarrow \rho(a, x) < r)$

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств.

Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.

Ограниченность в частично упорядоченном множестве

Понятия ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества можно ввести в произвольном частично упорядоченном множестве. Эти определения буквально повторяют соответствующие определения для числовых множеств.

Пусть — частично упорядоченное множество, . Множество называется ограниченным сверху, если

$\exists b \; \forall x \; (x \in S \Rightarrow x \leqslant b)$