Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решетки L используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем

где n — любое целое число, а — расстояние между состояниями с различными k.

Полное количество k-состояний, доступных для частицы - объем k-пространства доступного для неё, разделенного на объём k-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объем - просто интеграл от к . Объём k-пространства для одного состояния в n-мерном случае запишется в виде

— вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в k-пространстве: . Чтобы найти плотность состояний по энергии нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить k и dk в выражении g(k)dk в терминах E и dE. Например для свободного электрона: ,

С более общим определением связано соотношение

где индекс s соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а — дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию следут использовать правило

где — постоянная Планка.

Примеры

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

где l — индекс подзоны размерного квантования. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics