Показательная функция — математическая функция , где называется «основанием», а  — «показателем» степени.

• В вещественном случае основание степени  — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть  — неотрицательное вещественное число,  — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.

• Если , то .
• Если и , то .
  • Значение не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
• Если и , то .
  • Значение при не определено.

Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности , где  — рациональные числа, сходящиеся к . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

Свойства

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

В частности:

Разложение в ряд:

.

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

Таким образом, комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси.

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .

См. также

• Возведение в степень
• Ограничение складывания бумаги пополам
• Степенная функция
• Экспонента

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2