13-10-2023
Пото́к — одно из основных понятий интуиционистской математики.
Поток определяется как совокупность двух законов и , называемых законом потока и дополнительным законом, соответственно. Закон потока делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые, и должен обладать следующими свойствами:
Дополнительный закон сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.
Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел , для которых при любом кортеж является допустимым по закону потока , называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности (где — дополнительный закон потока ) называются элементами потока .
Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.
На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:
Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке .
Пусть — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности найдётся номер , для которого кортеж удовлетворяет условию . В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения:
Пусть условие запирает поток , и пусть условие , накладываемое на допустимые кортежи потока , обладает следующими свойствами:
В таком случае пустой кортеж удовлетворяет условию . |
Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.
Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере:
В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «леммы Кёнига».
Это заготовка статьи по логике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Поток (интуиционизм).