Предел вдоль фильтра — обобщение понятия предела.

Определение фильтра

Пусть дано множество Непустая система подмножеств множества называется базисом фильтра на , если

• для любого выполнено
• для любых существует такое, что

Определение предела

Везде далее -- базис фильтра на множестве

Предел числовой функции

Пусть . Число называется пределом функции по базе если

для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство

Пишут:

Предел функции со значениями в метрическом пространстве

Пусть - метрическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если

для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство

Пишут:

Предел функции со значениями в топологическом пространстве

Пусть - топологическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если

для любой окрестности точки существует такое, что , т.е. для всех выполняется включение

Пишут:

Замечание. Последнее "равенство" корректно использовать лишь в случаях, когда пространство - хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство , и Пусть Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру

Односторонние пределы

• Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции при стремящемся к

• Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции при стремящемся к

Пределы на бесконечности

• Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется пределом функции при стремящемся к бесконечности.

• Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается Предел называется пределом функции при стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Система множеств где

является базисом фильтра и обозначается Функция называется числовой последовательностью, а предел пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка коллекцию точек Назовём диаметром разбиения число Тогда система множеств

является базисом фильтра в пространстве всех размеченных разбиений Определим функцию равенством

Тогда предел называется интегралом Римана функции на отрезке

Литература

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.