Преобразование Мёбиуса — дробно-линейная функция одного комплексного переменного, тождественно не равная константе:

Легко проверяются следующие простые свойства:

1. Тождественное отображение также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить .
2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров , , , на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы , то есть имеет место эпиморфизм: .

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца .

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию . Тогда, в зависимости следа этой матрицы, равного , можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

• эллиптические: ;
• параболические: ;
• гиперболические: .

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение разложимо в суперпозицию четырёх функций:

где

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для произвольных трёх точек существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в фиксированные три точки . Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Искомое отображение строится заменой одной из точек и её образа на переменную, соответственно, и и имеет общий вид:

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

является автоморфизмом единичного круга тогда и только тогда, когда и принадлежит полуинтервалу .

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость в единичный круг .

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

• Moebius Transformations Revealed на YouTube.
• Преобразования Мебиуса — наглядное объяснение (с русскими субтитрами) на YouTube.