Обра́тный элеме́нт — одно из понятий абстрактной алгебры.
Определения
- Пусть — множество с определённой на нём бинарной операцией . Пусть — произвольный элемент множества . Если справедливо равенство
где , а - нейтральный элемент относительно операции , то называется обра́тным спра́ва к .
- Аналогичным образом, если выполнено
то называется обра́тным сле́ва к .
- Элемент , являющийся обратным к и справа, и слева, то есть такой, что
называется просто обратным к и обозначается .
- Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.
Замечания
- Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация , то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается .
- Вообще говоря, один и тот же элемент может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.
Свойства
- Пусть операция ассоциативна. Тогда если для элемента определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.
Примеры
См. также