Псевдоскалярным^[1] или косым произведением векторов и на плоскости называется число

где  — угол вращения (против часовой стрелки) от к . Если хотя бы один из векторов и нулевой, то полагают . Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.

Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является тройное скалярное произведение.

Свойства

• Линейность: Здесь ,  — произвольные вещественные числа.
• Антикоммутативность: .
• является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
• Псевдоскалярное произведение  — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы и .
  • Абсолютная величина псевдоскалярного произведения  — это площадь такого параллелограмма.
  • Ориентированная площадь треугольника выражается формулой

  а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.

• Если рассматривать плоскость в трёхмерном пространстве, то

где «» и «» соответственно — векторное и скалярное произведение, а  — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором , образует также правый базис; в противном случае минус.

•  — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости. Нулевой вектор для удобства работы с более употребительным скалярным произведением обычно считают ортогональным любому другому вектору, хотя это является произвольным соглашением.
• Из линейности и антикоммутативности следует, что если на плоскости задан ортонормированный базис и два вектора, имеющих в нём координаты то их псевдоскалярное произведение равно определителю

• Это выражение также можно записать через символ Леви-Чивиты в двумерном пространстве:

См. также

• Внешнее произведение
• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение

Ссылки