Разделё́нная ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

Определение

Разделённая разность нулевого порядка функции  — сама функция . Разделённая разность порядка определяется через разделённую разность порядка по формуле

Для разделённой разности также верна формула

Невозможно разобрать выражение (<math_output_error>): f(x_0;\;x_1;\;\ldots;\;x_n)=\sum_{j=0}^n\frac{f(x_j)}{\prod\limits_{i=0\atop i\neq j}^n(x_j-x_i)}.

Из этой формулы следует, что разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов (то есть при любой их перестановке не меняется), а также то, что при фиксированных разделённая разность — линейный функционал от функции :

Применение

Через разделенные разности можно выразить интерполяционный многочлен в форме многочлена Ньютона:

Невозможно разобрать выражение (<math_output_error>): L_n(x)=\sum_{i=1}^{n}f(x_1;\;\ldots;\;x_i)\omega_{i-1}(x),

где , ^[1].

Эта формула позволяет после предварительных вычислений разделенных разностей, требующих действий (с меньшей, чем в других алгоритмах константой), вычислять многочлен Лагранжа в любой точке за действий.

История

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году^[2].

См. также

• Конечные разности
• Численное дифференцирование

Ссылки

• Интерполирование Эрмита с использованием разделенных разностей.

Примечания