В алгебре группа называется разрешимой, если в ней существует цепочка вложенных коммутантов, последний из которых состоит из нейтрального элемента.

Цепочка коммутантов определяется так:  — это сама группа а , то есть это коммутант предыдущего элемента цепочки. Переформулируем теперь определение разрешимости: группа разрешима, если .

Свойства

• Если  — нормальная подгруппа в , разрешима и факторгруппа разрешима, то разрешима. В частности,
  • Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима.
• Если порядок конечной группы делится только на два простых числа, то такая группа разрешима.

Примеры

• Группа невырожденных верхних треугольных матриц UT_n разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Симметрическая группа является разрешимой тогда и только тогда, когда .
• Конечная группа порядка , где и  — простые числа (Теорема Бёрнсайда) разрешима.

История

Термин «Разрешимая группа» возник в теории Галуа и связан с разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах.