03-08-2023
Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), если он либо является нулевым, либо обладает базисом, т.е. непустой системой S элементов e1,...ei..., которая является линейно независимой и порождает F. Само кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме Rn колец R, рассматриваемых как модули.
Важно обратить внимание, что в некоторых случаях свободный модуль может обладать двумя конечными базисами, состоящими из разного числа элементов. Так как в этом случае модуль M будет изоморфен как Rm так и Rn, где m≠n то этот случай возможен тогда и только тогда, когда над кольцом R существуют матрицы A размера m×n и B размера n×m, такие, что AB=Im и BA=In, где Im и In — единичные квадратные матрицы. Ясно, что в случае, когда кольцо R допускает гомоморфизм в тело (это будет так, например, в случае коммутативных колец) данный случай невозможен в силу свойства ранга матрицы. В этом случае число элементов базиса называется рангом кольца R и обозначается rank R или rk R. В случае векторного пространства ранг пространства является его размерностью.
Если модуль имеет бесконечный базис, то все такие базисы равномощны.
Так как любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z, то всё вышеописанное относится и к свободным абелевым группам.
Свободный модуль.