Теория случайных блужданий — теория, согласно которой изменения стоимости ценных бумаг колеблются случайным образом вокруг своей объективной цены, оппонирует теории технического анализа.

Одномерное дискретное случайное блуждание

Одномерное дискретное случайное блуждание — это случайный процесс с дискретным временем, имеющий вид

,

где

•  — начальное состояние;
• ;
• случайные величины совместно независимы.

Случайное блуждание как цепь Маркова

Одномерное дискретное случайное блуждание является цепью Маркова с целыми состояниями, чьё начальное распределение задаётся функцией вероятности случайной величины , а матрица переходных вероятностей имеет вид

,

то есть

Теорема Донскера

Рассмотрим случайное блуждание , где .

Центральная предельная теорема утверждает, что по распределению

Однако, в случае случайных блужданий, это утверждение можно значительно усилить.

Построим по случайный процесс , определив его следующим образом: , а при остальных мы доопределим процесс линейным продолжением:

Из центральной предельной теоремы по распределению

Это означает сходимость одномерных распределений процесса к одномерным распределениям винеровского процесса. Теорема Донскера, называемая также принципом инвариантности, утверждает, что имеет место слабая сходимость процессов,

Слабая сходимость процессов означает сходимость непрерывных по винеровской мере функционалов, то есть позволяет рассчитывать значения функционалов от броуновского движения (например максимума, минимума, последнего нуля, момента первого достижения уровня и других) предельным переходом от простого случайного блуждания.

См. также

• Задача о разорении игрока