Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Сопряжённый вектор

16-10-2023

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Содержание

Линейно-сопряжённое пространство — определение

Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .

Свойства

  • В конечномерном случае сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем :
    любому базису из можно поставить в соответствие т.н. двойственный базис из , где функционал — проектор на вектор :
  • Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между и .
  • Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и .
  • В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому , совпадает с (точнее, существует канонический изоморфизм между и ).

Обозначения

В конечномерном случае обычно элементы пространства обозначают вектором-столбцом, а элементы — вектором-строкой [источник не указан 513 дней]. В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).

Вариации и обобщения

  • В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
  • Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

Ссылки

Сопряжённый вектор.

© 2014–2023 light-industry-up.ru, Россия, Краснодар, ул. Листопадная 53, +7 (861) 501-67-06