16-06-2024
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .
Содержание |
Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается . Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.
В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть
Тогда:
Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.
(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)
Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда
Если у ряда свободный член нулевой, тогда
Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.
Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:
или, в мультииндексных обозначениях,
где — это вектор , — мультииндекс , — одночлен . Пространство степенных рядов от переменных и коэффициентами из обозначается . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и -местной суперпозиции. Пусть
Тогда:
Про пространство можно сказать практически то же самое, что и про .
Степенной ряд это определение, ряд маклорена получается из ряда тейлора при х равном.
Шишкогриб хлопьеножковый, Категория:Мордовский район, Файл:Peter Paul Rubens 037.jpg, Файл:Edwards Maevia inclemens 02.jpg, Вендров, Морис Иосифович.