16-10-2023
Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров и , вида:
где и .
Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса , то есть
если .
Суммы можно представить через функцию Мёбиуса :
Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо , либо . Так, например, .
Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по . Верно и обратное.
Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:
где — мультипликативная функция, — целое число, — в общем случае, комплексное.
В простейшем случае, можно получить
где — дзета-функция Римана, — сумма -х степеней делителей числа .
Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.
Суммы Рамануджана.