Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи, и класс гармонических функций.

§Определение

Рассмотрим функцию , где и полунепрерывна сверху на . Она будет называться субгармонической, если для произвольного шара и любой вещественнозначной функции , непрерывной на , гармонической в и удовлетворяющей неравенству на последнее неравенство будет выполняться и во всем шаре .

Определение супергармонической функции двойственно приведённому — функция называется супергармонической, если функция  субгармоническая.

§Основные свойства

1.  — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если  — открытое множество и ( — класс дважды непрерывно дифференцируемых на функций), то для субгармоничности необходимо и достаточно выполнение на условия ( — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

§Связь с аналитическими функциями

Теория субгармонических функций находит немалое применение в комплексном анализе, потому что субгармонические и аналитические функции тесно связаны. А именно, можно показать что для любой аналитической в некоторой области функции функция будет субгармонической в , если рассматривать как подмножество .

§См. также

• Плюрисубгармоническая функция