Тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном (англ.) в 1947 году^[1].

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа и неотрицательного целого числа , тетрацию можно определить рекуррентно:

• (если )
• (если )

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

1. сложение:

2. умножение:

3. возведение в степень:

4. тетрация:

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• В отличие от трёх первых гиперопераций (сложения, умножения и возведения в степень), которые допускают аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость (то есть имеют смысл при комплексных значениях ), для тетрации такого продолжения построить не удаётся.^{[источник не указан 314 дней]}
• Тетрация не считается элементарной функцией.
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень.

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
• Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.^[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в своей книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)^[3].
• Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)^[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» (англ. power tower)^[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка » для .

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
	Тетрация
	Итерационные экспоненты
	Вложенные экспоненты (также башни)
	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях есть основание, и количество появляющихся есть высота. В третьем выражении, есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций) включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи		Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гулдштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута		Позволяет удлинение путём добавление добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея		Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку
Функция Аккермана		Допускает особый случай в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи		Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand) [6]
Система записи гипероператорами		Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи		Система записи и итерационная система записи была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута		Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)		Допускает использование больших выражений в основании.[7]
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными.

1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987
4	256
5	3 125
6	46 656
7	823 543
8	16 777 216
9	387 420 489
10	10 000 000 000

Открытые проблемы

• Неизвестно, являются ли ⁿπ или ⁿe целыми числами при каком-либо положительном целом n. Неизвестно даже, является ли целым.

См. также

• Гипероператор
• Функция Аккермана

Примечания