Телеграфные уравнения — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока в линии электропередачи по времени и расстоянию. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, в 1880-х разработавшим модель линии электропередачи, описанную в этой статье. Теория Хевисайда применима к линиям электропередачи всех частот, включая высокочастотные линии (такие, как телеграфные и радиочастотные проводники), линии со звуковыми частотами (например, телефонные линии), низкочастотные линии (например, силовые линии) и постоянный ток.

§Уравнения

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С точки зрения практики, предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи двухполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии:

• Удельное сопротивление проводников представлено в виде резистора (выражается в Омах на единицу длины).
• Удельная индуктивность (возникает из-за магнитного поля вокруг проводников, самоиндуктивности и т. д.) представлена в виде катушки (генри на единицу длины).
• Емкость между двумя проводниками представлена в виде конденсатора (фарад на единицу длины).
• Проводимость диэлектрического материала, разделяющего два проводника (изоляции) представлена в виде резистора между проводом под напряжением и нулевым проводом (сименс на единицу длины). В модели этот резистор имеет сопротивление Ом.

Для ясности повторим, что модель основана на бесконечной цепи элементов, показанных на картинке, и номиналы ее частей указаны на единицу длины. Также можно использовать , , и , чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.

Телеграфные уравнения выведены в той же форме в следующих источниках:: ^[1], ^[2], ^[3], ^[4], ^[5], ^[6], ^[7]

§Передача без потерь

Когда элементы R и G малы, их значением можно пренебречь, линия электропередач при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов L и C, мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения U вдоль линии, а другая — распределение тока I, обе функции зависят от координаты x и времени t.

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

В гармоническом случае (считаем, что волна синусоидальная , уравнения упрощаются до

где  — частота стационарной волны.

Если линяя является бесконечно длинной, или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью .

(Заметим, что такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду.) Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света.

Линии без потерь и линии без искажений обсуждаются в ^[8] и ^[9]

§Линия с потерями

Когда элементами R и G нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид

Дифференцируя первое уравнение по x и второе по t, после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

Заметим, что эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над U и I и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния. Если потери линии малы (малые R и G = 0), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как e^-αx, где α = R/2Z₀

§Направление распространения сигнала

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая R=0 и G=0), решение может быть представлено в виде:

где:

называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,

ω — угловая частота (в радианах в секунду),

и могут быть любыми функциями, и

скорость распространения волны (или фазовая скорость).

f₁ представляет волну, идущую в положительном направлении оси х (слева направо) f₂ представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке х линии является суммой напряжений, вызванных обоими волнами.

Так как зависимость между током I и напряжением U описывается телеграфными уравнениями, можно записать

где  — характеристический импеданс линии электропередачи, который для линии без потерь можно найти как

§Ссылки