Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи^[1], и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T₀₀ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира^[2].
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — плотности компонент импульса, умноженные на c.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T_μν соблюдается равенство: T_0μ = T_μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

есть тензор напряжений (матрица потоков импульсов). В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице , где есть плотность массы, а  — гидростатическое давление.

Канонический тензор энергии-импульса

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) , зависящего от полевых функций и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

который имеет вид

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора к симметризованному виду добавлением тензорной величины где тензор антисимметричен по двум последним индексам . Действительно, для симметризованного ТЭИ

автоматически следует закон сохранения

Метрический тензор энергии-импульса

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ выражается через вариационную производную по метрическому тензору в точке пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

где Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

где  — тензор Риччи,  — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

Тензор энергии-импульса в классической электродинамике

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в системе СИ имеет вид:

^[3]

В ковариантной форме можно записать:

Тензор энергии-импульса в квантовой теории поля

Примечания