Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Теорема Байеса

21-07-2023

Теорема Байеса (или формула Байеса) — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны. Названа в честь её автора, преп. Томаса Байеса (посвящённая ей работа «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances» впервые опубликована в 1763 году,[1] через 2 года после смерти автора). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Психологические эксперименты[2] показали, что люди при оценках вероятности игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка обоснования оценки (англ.)русск.), и потому результаты по формуле Байеса и правильные результаты могут сильно отличаться от ожидаемых.

Содержание

Формулировка

Формула Байеса:

,

где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);
— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
— полная вероятность наступления события B.

«Физический смысл» и терминология

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Следствие

Формула Байеса является важным следствием из формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).

 — вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез , если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);

Пример

Событие B — в баке нет бензина, событие A — машина не заводится. Заметим, что вероятность Р(А|В) того, что машина не заведется, если в баке нет бензина, равняется единице. Тем самым, вероятность Р(В) того, что в баке нет бензина, равна произведению вероятности Р(А) того, что машина не заводится, на вероятность P(B|A) того, что причиной события А стало именно отсутствие бензина (событие В), а не, к примеру, разряженный аккумулятор.

Пример расчёта

Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего — , а у третьего — . Первый изготовил деталей, второй — деталей, а третий — деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?

Cобытие — брак детали, событие — деталь произвёл рабочий . Тогда , где , а . По формуле полной вероятности

По формуле Байеса получим:

См. также

Примечания

  1. Bayes, Thomas, and Price, Richard (1763). «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr. Bayes, communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, M. A. and F. R. S.». Philosophical Transactions of the Royal Society of London 53: 370—418.
  2. ↑ Kahneman, et al, 2005, pp. 153-160

Литература

  • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
  • Теорема преподобного Байеса. // Журнал «Компьютерра», 24 августа 2001 г.
  • Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases / Daniel Kahneman, et al. — 21st. — Cambridge University Press, 2005. — 555 p. — ISBN 978-0-521-28414-1


Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Теорема Байеса.

© 2014–2023 light-industry-up.ru, Россия, Краснодар, ул. Листопадная 53, +7 (861) 501-67-06