24-08-2023
Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:
Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля : где для всех точек области V. |
Содержание |
Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает быстрее чем 1/r на бесконечности в случае неограниченной области.[1] Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).
Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:
где — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).
Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до
В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).
В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид
В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.
В общем случае F представимо суммой
где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.
С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.
Пусть дано скалярное поле и векторное поле , которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле , что
При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:
Внутренняя задача имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция для вектор-функции .
Внешняя задача имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция для вектор-функции , и на вектор-функцию наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как .
Задача для всего пространства R³ имеет однозначное решение, если на вектор-функцию наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как .
Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует.
Задача имеет решение не при всех , и :
A. Внутренняя задача: если
Б. Внешняя задача: если
В. Задача для всего пространства R³: если
Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).
С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции, разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:
Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.
Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:
Функция является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида , где , есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция , обладающая нужным поведением на бесконечности.
В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что
Если к тому же векторное поле F рассматривается во всем пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно.[1] В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.
Другими словами, при определенных условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причем когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике, например уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа.[1] Как уже было написано выше, одно из возможных решений:
Теорема Гельмгольца.