24-09-2023
Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.
Высечем из куба пирамиду, отрезав плоскостью одну из его вершин. Тогда для такой пирамиды верно следующее соотношение: квадрат площади грани противолежащей вершине куба (вершине при прямом угле) равен сумме квадратов площадей граней прилежащих к этому углу (см. рисунок).
Иными словами, если мы заменим плоский прямой угол трехмерным, отрезки — гранями, а треугольник — пирамидой, то теорема снова окажется верна, но не для длин сторон, а для площадей граней полученной пирамиды.
Существует обобщение этой теоремы для N-мерного пространства[1].
Содержание |
Выразим ребра DA, DB и DC прямоугольного тетраэдра через единичные координатные векторы , и [1]:
где — длины соответствующих сторон тетраэдра.
Для векторов AB и АС имеем:
Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения двух его сторон,
Возведя последнее выражение в квадрат и раскрыв скобки c учётом того, что попарные векторные произведения единичных координатных векторов равны единице, получим
Площади граней ABD, ACD и BCD равны
откуда
Известно, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции[2]. Проекциями треугольника ABC на координатные плоскости являются треугольники ABD, ACD и BCD. Поэтому
где — напрявляющие косинусы нормали к плоскости ABC.
Согласно свойству направляющих косинусов
откуда
и
Теорема может быть доказана из формулы Герона для площади треугольника и теоремы Пифагора.
В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа (фр.), однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл ее в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4]
Теорема де Гуа.