Теоремы Шеннона для источника общего вида описывают возможности кодирования источника общего вида с помощью разделимых кодов. Другими словами, описываются максимально достижимые возможности кодирования без потерь.

Прямая теорема

В применении к побуквенному кодированию прямая теорема может быть сформулирована следующим образом:

Существует префиксный, то есть разделимый код, для которого средняя длина сообщений отличается от нормированной энтропии не более, чем на единицу:

где:

•  — некоторый источник сообщений, а также множество всех его сообщений
•  — длины сообщений источника после кодирования
•  — средняя длина сообщений
•  — энтропия источника
•  — количество букв в алфавите кодирования (например, 2 для двоичного алфавита, 33 — для кодирования заглавными русскими буквами и т. д.)

В качестве доказательства теоремы исследуются характеристики кода Шеннона-Фано. Данный код удовлетворяет условиям теоремы, и он обладает указанными свойствами.

Обратная теорема

Обратная теорема ограничивает максимальную степень сжатия, достигаемую с помощью кодирования без потерь. В применении к побуквенному кодированию, описывает ограничение на среднюю длину кодового слова для любого разделимого кода.

Для любого разделимого кода с длинами средняя длина сообщений больше или равна энтропии источника , нормированный на двоичный логарифм от числа букв в алфавите кодера:

Литература

• Габидулин, Э. М., Пилипчук, Н. И. §3.4 Теоремы Шеннона для источника // Лекции по теории информации. — М.: МФТИ, 2007. — С. 49-52. — 214 с. — ISBN 5-7417-0197-3