17-10-2023
Теория Томаса — Ферми (модель Томаса — Ферми) является квантовомеханической теорией электронной структуры системы многих тел, разработана с использованием квазиклассического приближения вскоре после открытия уравнения Шредингера Энрико Ферми и Люэлином Томасом[1][2]. Она основывается не на волновой функции, а формулируется в терминах электронной плотности и рассматривается как предшественник современной теории функционала плотности. Модель Томаса — Ферми правильна только в пределе бесконечного ядерного заряда. Используя это приближение для реальных систем теория дает прохие количественные предсказания и даже не в состоянии воспроизвести некоторые общие черты, такие как плотность оболочечной структуры атомов и осцилляции Фриделя в твердых телах. Она, однако, нашла приложения во многих областях благодаря возможности получать правильное качественнон поведение аналитически и легкость с которой она может быть решена. Выражение кинетической энергии в теории Томаса-Ферми также используется в качестве компонента более сложного приближения для плотности кинетической энергии в современных теориях функционала плотности, где можно обойтись без орбиталей.
Содержание |
Для малого элемента объема ΔV, и для атома в основном состоянии, мы можем заполнить в сферическом пространстве импульсов объем Vf до импульса Ферми pf , и, таким образом,[3]
где точка в ΔV.
Соответствующее фазовое пространство имеет объем
Электроны в ΔVph распределены равномерно с двумя электронами в h3 этого объема фазового пространства, где h постоянная Планка.[4] Тогда число электронов в ΔVph составит
Число электронов в ΔV :
где плотность электронов.
Приравнивая число электронов в ΔV и в ΔVph даёт,
Доля электронов в чей импуотя лежит между импульсами p и p+dp составит
Используя классическое выражение для кинетической энергии электрона с массой me, кинетической энергии в единице объема в для электронов атома
где использовалось предыдущее выражение, связывающее и и
Интегрирование кинетической энергии в единице объема во всем пространстве, приводит к полной кинетической энергии электронов,[5]
Этот результат показывает, что полная кинетическая энергия электронов может быть выражена в терминах только пространственно зависимой плотности электронов согласно модели Томаса-Ферми. Как таковые, они смогли рассчитать энергию атома с помощью этого выражения для кинетической энергии в сочетании с классическими выражениями для ядерно-электронных и электрон-электронных взаимодействий (которые могут быть представлена в виде электронной плотности).
Потенциальная энергия электронов атома, за счет электрического притяжения положительно заряженного ядра:
где есть потенциальная энергия электрона в точке назодящегося в электрическом полем ядра. В случае когда ядро назодится в точке и зарядом Ze, где Z представляет собой натуральное число e элементарный заряд,
Потенциальная энергия электронов за счет их взаимного электрического отталкивания равна
Полная энергия электрона равна сумме их кинетической и потенциальной энергий,[6]
Теория Томаса — Ферми.