Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Троичные функции

18-10-2023

Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа , где  — троичное множество, а  — неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции.

Элементы множества — цифровые знаки 0, 1 и 2 могут интерпретироваться как логические «ложь», «неизвестно» и «истина», в общем случае их смысл может быть любым. Элементы называют троичными векторами. В случае n = 0 троичная функция превращается в троичную константу.

Каждая троичная функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех троичных векторах длины n. Число таких векторов равно 3n. Поскольку на каждом векторе трёхзначная функция может принимать одно из трёх раличных значений, то количество всех n-арных троичных функций равно 33n.

Например, существует 330 = 3 нульарных троичных логических функций — константы 0, 1 и 2; 331 = 27 унарных троичных логических функций и т. д.

Содержание

Троичные логические функции (классификация)

Нульарные троичные логические функции (операции, элементы)

Нульарные троичные логические операции (функции) с унарным выходом

Всего существуют простейшие нульарные троичные функции (троичные константы).
В троичной несимметричной системе счисления:

название обозначение
0 логический тождественный ноль 0
1 логическая тождественная единица 1
2 логическая тождественная двойка 2

В троичной симметричной системе счисления:

название обозначение
i тождественная минус единица i
0 тождественный ноль 0
1 тождественная плюс единица 1

Унарные троичные логические функции

Унарные троичные логические функции

Всего существует простейших унарных (одноместных) троичных функций.
Число простейших унарных троичных функций равно числу размещений с повторениями (выборок с возвращением) при k=n=3:

Так как возможны более сложные функции дающие при подаче на вход одного трита тот же результат, что и простейшие унарные троичные функции, то число более сложных троичных функций с нижеприведёнными результатами от одного трита теоретически бесконечно.
Таблица 1. Результаты действия простейших унарных троичных функций при подаче на вход трёх значений троичного разряда: 0, 1 и 2.
В несимметричной троичной системе {0,1,2}:

x 2 1 0 название обозначение
f(x) 0 0 0 тождественный ноль 0(x) = 0
0 0 1
0 0 2
0 1 0
0 1 1
0 1 2 инверсия около единицы, нулевая инверсия Лукасевича в соответствии н1, Invert Стива Грабба[1] НЕ1(x) = НЕЛ1(x) = NOT1(X) = NOTL1(Х) = SWAP0/2(X)=Complement(F210)[2]=x[3]
0 2 0
0 2 1 циклический сдвиг (поворот, вращение) вперёд на 1 (1/3 оборота), Rotate Up Стива Грабба[4] СДВИГ1В(X) = ROT1F(x) = ROT1U(x) = SHIFT1F(X)
0 2 2 F220[5]
1 0 0 Shift Down Стива Грабба[6]
1 0 1
1 0 2 циклический сдвиг (поворот, вращение) назад на 1 (1/3 оборота), Rotate Down Стива Грабба[7] СДВИГ1Н(X) = ROT1B(x) = ROT1D(x) = SHIFT1B(x)
1 1 0
1 1 1 тождественная единица 1(x) = 1
1 1 2 F211[8]
1 2 0 инверсия около нуля, нулевая инверсия Лукасевича в соответствии н2 НЕ0(x) = НЕЛ0(x) = NOTL0(Х) = SWAP1/2(X)
1 2 1
1 2 2 F221[9]
2 0 0
2 0 1 инверсия около двойки, НЕ2(x) = НЕЛ2(x) = NOTL2(Х) = SWAP0/1
2 0 2
2 1 0 тождественная функция, повторитель, логическое «ДА», линия задержки, нулевой сдвиг ДА(x) = x = СДВИГ0(x)
2 1 1
2 1 2
2 2 0
2 2 1 Shift Up Стива Грабба[10]
2 2 2 тождественная двойка 2(x) = 2

Любую унарную троичную функцию можно выразить (построить) используя две другие унарные базисные троичные функции, одна из которых — любой из двух циклических сдвигов (полных инверсий), а другая — любой из трёх обменов (неполных инверсий, инверсий Лукасевича). Эти пары функций образуют множество из шести унарных троичных базисов. Любой из трёх обменов производит переход от одного из двух вращений к противоположному вращению. Любой из двух сдвигов обеспечивает вращение в одном из двух направлений (левом и правом) на 1/3 оборота (2π/3, 120°), на 2/3 оборота (2*2π/3, 240°) и на 3/3 оборота (2*π, 360°).

  • СДВИГВ, НЕЛ0 (2 элемента)
  • СДВИГВ, НЕЛ+1 (2 элемента)
  • СДВИГВ, НЕЛ-1 (2 элемента)
  • СДВИГН, НЕЛ0 (2 элемента)
  • СДВИГН, НЕЛ+1 (2 элемента)
  • СДВИГН, НЕЛ-1 (2 элемента)
Снимок модели троичного унарного с унарным выходом АЛУ (1Трит-1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов в логическом симуляторе Atanua[11]

Все 27 унарных троичных операций (функций) выполняются троичным унарным с унарным выходом АЛУ (1Трит-1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе Atanua приведён на рисунке справа, и записываются в троичный триггер с соответствующей логикой управления.

Обозначения

Для обозначения унарных троичных функций достаточно любых трёх троичных знаков (3³=27), 4/3 девятеричного знака (9(4\3)=27) или одного двадцатисемеричного знака, следовательно, так как возможно бесконечное количество таких знаков, возможно бесконечное множество обозначений унарных троичных функций. Из этого множества обозначений числовые обозначения по результатам действия функций являются естественными обозначениями[источник не указан 791 день].

Цифровые обозначения могут быть постфиксными надстрочными, строчными и подстрочными и префиксными надстрочными, строчными и подстрочными, при этом для надстрочных и подстрочных обозначений нужно набирать пять знаков для открывающих и шесть знаков для закрывающих скобок, поэтому проще цифровые строчные обозначения с обычными скобками.

Grabb[12] использует для обозначения шесть знаков: ∪, ∩, ↘, ↗, A, A, из которых 5 труднонабираемы на клавиатуре. Шесть знаков могут выразить до 6²=36 функций, тем не менее Grabb использует для обозначения −7, −3, 3 и 7 функций четыре знака, что относительно избыточно (64=1296).

Mouftah использует для обозначения 16 знаков: ¬, ¬, ⌐, ⌐, ┘, ┘, └, └, ⊼, ⊽, 0, +, (,), A, A, из которых 11 труднонабираемы на клавиатуре. Два шестнадцатеричных знака могут выразить до 11²=256 функций, тем не менее для −6 и −2 функций Mouftah использует 11 знаков, что относительно избыточно (1611=17592186044416).

Yoeli обозначает положительные декодеры −1, 0 и +1 с двумя i тремя труднонабираемыми на клавиатуре надстрочными индексами, при этом не описываются положительные декодеры с двумя 0, нулевые декодеры с двумя 1 и с двумя −1, отрицательные декодеры с двумя 0 и с двумя 1.

В симметричной троичной системе:

x 1 0 i название обозначение F#[13] Grubb Mouftah Название по Mouftah/Yoeli [13] Diff:101
f(x) i i i тождественная минус единица i(x) = i 111 always output 1
i i 0 ii0 ↘A = Shift Down ¬┘A
i i 1 ii1 ∩↗A └┘A = ┘A = ┘A = ┘┘A x1 (Yoeli), decode-1
i 0 i i0i ↘∩A
i 0 0 i00 ↘↗A ⌐A Reverse Diode
i 0 1 инверсия Лукасевича около 0,
нулевая (0) инверсия Лукасевича		 NOTL0(x) 101 swap1/1,
invert
A		 A Simple Ternary Inverter \'/
i 1 i i1i ∩↗∪A ┘(A + A) x0 (Yoeli), decode-0
i 1 0 циклический сдвиг вперёд на 1 (1/3 оборота, +120°) ROT1F(x) = ROT1U(x) = SHIFT1F(x) 011 rotate up,
∩A		 (└A ⊼ 0)⊼(┘A) — inverse cycling gate cycle up ///
i 1 1 i11 ∪↘A ┘└A = ┘A = └└A
0 i i 0ii ↘A ⌐└A Earthed Negative Ternary Inverter
0 i 0 0i0 ∪↗∪A
0 i 1 циклический сдвиг назад на 1 (1/3 оборота, −120°) ROT1B(x) = ROT1D(x) = SHIFT1B(x) 110 rotate down,
∪A		 (┘A ⊽ 0)⊽(└A) — cycling gate cycle down \\\
0 0 i 00i ∪↗A ⌐└A = ⌐A
0 0 0 тождественный ноль 0(x) = 0 000 always output 0
0 0 1 001 ↗↘A ¬A Forward Diode
0 1 i инверсия Лукасевича около −1,
отрицательная (-1) инверсия Лукасевича		 NOTL-(x) 110 swap 0/1 swap 0/1 '/\
0 1 0 010 ∩↘∩A
0 1 1 011 ↗A = Shift Up ⌐└A
1 i i 1ii ∩↗A └A Negative Ternary Inverter (Mouftah), xi (Yoeli), decode-i
1 i 0 инверсия Лукасевича около +1,
положительная (+1) инверсия Лукасевича		 NOTL+(x) 011 swap 1/0 swap 1/0 /\'
1 i 1 1i1 ∪↘∩A
1 0 i тождественная функция, повторитель, логическое «ДА», линия задержки 101 Buffer
A		 A Buffer
1 0 0 100 ∩↘A ¬A
1 0 1 101 ↗∪A
1 1 i 11i ∪↘A ┘A Positive Ternary Inverter
1 1 0 110 ↗A ¬┘A Earthed Positive Ternary Inverter
1 1 1 тождественная плюс единица 1(x) = 1 111 always output 1

При замене знака i на знак 2 получается таблица унарных троичных функций в несимметричной троичной системе {2,0,1} (соответствие 2.).

Троичная логическая тождественная функция

Троичный логический повторитель. Является простейшей линией задержки.

Инверсии

Инверсии и неполные обмены

В троичной логике неполные обмены и инверсии совпадают. В четверичной логике два единичных дигональных обмена и два парных недиагональных обмена являются инверсиями, остальные неполные обмены инверсиями не являются. В пятеричной логике для инверсии необходимы два парных обмена в которых в сумме участвуют значения четырёх вершин. В шестеричной логике для инверсии необходимы два парных обмена или три парных обмена. В семеричной логике для инверсии необходимы три парных обмена в которых в сумме участвуют значения шести вершин. В N-ичной логике для инверсии в обмене участвуют значения N-1 вершины. В нечётных логиках по отношению к одной вершине возможна одна инверсия. В чётных логиках по отношению к одной вершине возможны две инверсии: диагональная и перпендикулярная.

Инверсии (неполные обмены) в троичной логике

Троичные инвесии (перевороты, отрицания, неполные троичные обмены) — унарные операции, меняющие местами два из трёх логических состояний.
В троичной логике возможны три инверсии[14]:
— инверсия около нуля, НЕ0, (NOTL0), обмен −1 и +1 (SWAP-1/+1),
— инверсия около −1, НЕ-1, (NOTL-), обмен 0 и +1 (SWAP0/+1),
— инверсия около +1, НЕ+1, (NOTL+), обмен −1 и 0 (SWAP-1/+1).

NOTL- = ROTB(NOTL0)
NOTL+ = ROTF(NOTL0)
NOTL+ = ROTB(NOTL-)

Традиционная инверсия (неполный обмен SWAP-1/+1), (двоичное, так называемое обращение или дополнение) неполное отрицание, не влияющее на состояние «неизвестно», в троичной логике называют отрицанием Лукасевича и обозначают как ~Lx (NLx, ¬Lx, x’L, NOTL или NOTL0). Функция инверсии (отрицания) Лукасевича входит в логику Клини. В симметричной троичной системе счисления Фибоначчи такое отрицание просто изменяет «знак» троичного разряда, в несимметричной троичной системе счисления знак троичного разряда не изменяется.

Граф переходов в операции отрицания (инверсии) Лукасевича — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 1 к −1 и обратно. Операция линейная, одномерная, из линии в плоскость не выходит.

Кроме традиционной инверсии Лукасевича, выделяют ещё две операции инверсий, которые обозначают как NOT1 (NOT−, NOT-, NOTL-) и NOT1(NOT+, NOT+, NOTL+). Первая сохраняет неизменным состояние −1 («ложь»), а вторая сохраняет +1 («истина»), при этом операции по-разному действуют на состояние 0 («неизвестно»):
в несимметричной троичной системе счисления с соответствием {-1,0,+1} — {0,1,2}:

x 2 1 0
НЕ1, NOTL0 0 1 2
НЕ0, NOTL−1 1 2 0
НЕ2, NOTL+1 2 0 1

в несимметричной троичной системе счисления с соответствием {-1,0,+1} — {2,0,1}:

x 2 1 0
НЕ0, NOTL0 1 2 0
НЕ2, NOTL-1 2 0 1
НЕ1, NOTL+1 0 1 2

так как возможны шесть соответствий троичной симметричной системы счисления и троичной несимметричной системы счисления:
Таблица соответствия троичной несимметричной системы и троичной симметричной системы:

1. 2. 3. 4. 5. 6.
1 2 1 0 0 2 1
0 1 0 2 1 0 2
1 0 2 1 2 1 0

то в несимметричной троичной системе счисления с другими соответствиями троичной симметричной системе счисления таблицы функций NOTL0, NOTL- и NOTL+ будут другими;
в симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:

x 1 0 1
НЕ0, NOTL0 1 0 1
НЕ-1, NOTL−1 0 1 1
НЕ+1, NOTL+1 1 1 0

Граф операции NOT1 (NOT−, NOT-, NOTL-) — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к 1 и обратно.
Граф операции NOT1(NOT+, NOT+, NOTL+) — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к −1 и обратно.
Так как возможны два вида вращения (левое и правое), то закон двойного отрицания справедлив для всех многозначных логик. Для всех трёх инверсий (отрицаний) Лукасевича, как и в двоичной логике, справедливы уравнения:
NOTL0(NOTL0(X))=X    NOTLZ(NOTLZ(X))=X
NOTL+(NOTL+(X))=X    NOTLP(NOTLP(X))=X
NOTL-(NOTL-(X))=X    NOTLN(NOTLN(X))=X,
.

Циклические сдвиги

Сдвиги и инверсии

В двоичной логике сдвиги и инверсии совпадают и выражаются одной операцией сдвига на 180° или инверсии — NOT(X). В троичной и более значных логиках сдвиги и инверсии являются разными функциями. Сдвиги не меняют направления вращения. Операцию (функцию) сдвига выполняют регистры сдвига. Инверсии (отрицания) меняют (переворачивают) направление возрастания значений при правом (по часовой стрелке) обходе вершин графа. Операцию (функцию) инверсии (переворота) выполняют только триггеры.

В многозначных логиках

В троичной логике существует закон тройного сдвига:

SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(X))) = X,
SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(X))) = X.

В четверичной логике существует закон четверного сдвига:

SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(X)))) = X,
SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(X)))) = X.

В пятеричной логике существует закон пятерного сдвига:

SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(X))))) = X,
SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(X))))) = X.

…

В N-ичной логике существует закон N-ного сдвига:

N сдвигов вперёд равносильны повторению (утверждению),
N отрицаний (сдвигов) назад равносильны повторению (утверждению).

В (N+1)-ичной логике существует закон (N+1)-ного сдвига:

(N+1) сдвигов вперёд равносильны повторению (утверждению),
(N+1) сдвигов назад равносильны повторению (утверждению).

…

Обобщение:
В N-ичной плоской логике плоская логическая окружность делится на N частей, при этом N единичных сдвигов по плоской логической окружности приводят в исходную точку.

В объёмных логиках место окружности занимают многомерные (в простейшем случае трёхмерные) сферы.

Сдвиги в троичной логике

Логические циклические сдвиги (отрицания, инверсии, вращения, полные обмены) вперёд и назад (вращение вверх и вращение вниз)[14].
Так как в троичном триггере (разряде, позиции) возможны переключения из любого из трёх состояний в любое из двух оставшихся состояний, то эти переключения нужно описать логическими функциями.

Если рассмотреть многовершинные графы, то в них возможны циклические сдвиги на 1 вперёд и назад и инверсии (перевороты).

Сдвиги не являются инверсиями и отличаются от функции инверсии (отрицания Лукасевича и от двух операций инверсии — NOT1 (или NOT−) и NOT1 (или NOT+)). Они более просты, ближе к логике работы троичного триггера и более полно описывают возможные переходы (переключения) в троичном триггере. В проекте Стива Грабба эти функции называются вращение вверх (ROTU) и вращение вниз (ROTD).
В троичной несимметричной системе {0,1,2}:

x 2 1 0
SHIFT1F, ROT1F, ROT1U, 0 2 1
SHIFT1B, ROT1B, ROT1D, 1 0 2

или в троичной симметричной системе {-1,0,+1}:

x 1 0 1
SHIFT1F, ROT1F, ROT1U, 1 1 0
SHIFT1B, ROT1B, ROT1D, 0 1 1

Графы операций логических циклических сдвигов (вращений) вперёд и назад (вращение вверх и вращение вниз) — треугольники с односторонними переходами вправо (по часовой стрелке) или влево (против часовой стрелки).

Для обеих функций справедливы уравнения:
Rot1F(Rot1F(Rot1F(x)))=x,
Rot1B(Rot1B(Rot1B(x)))=x,
которые являются законом тройного сдвига, который не является подобием закона двойного отрицания: три троичных сдвига равносильны утверждению.

Справедливы также следующие уравнения:
Rot1B(Rot1F(x))=x,
Rot1F(Rot1B(x))=x

Сдвиг на 2 равен двум сдвигам на 1:
SHIFTF2(x)=SHIFTF1(SHIFTF1(x))
SHIFTB2(x)=SHIFTB1(SHIFTB1(x))
это уравнение справедливо и в более чем трёхзначных логиках.

Только в троичной логике сдвиг в одну сторону на 2 равен сдвигу на 1 в другую сторону:
SHIFTF2(x)=SHIFTB1(x)
SHIFTB2(x)=SHIFTF1(x)
в более чем трёхзначных логиках этому свойству соответствуют другие подобные свойства.

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным результатом (выходом)

Всего существует простейших унарных троичных функций с бинарным выходом.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с бинарным (двухразрядным) (результатом) выходом.

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с тринарным результатом (выходом)

Всего существует простейших унарных троичных функций с тринарным выходом.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с тринарным (трёхразрядным) результатом (выходом).

Троичный дешифратор «1 трит в 3 строки»

Можно рассматривать как объединение трёх унарных троичных функций с унарными результатами из таблицы 1.

x 2 1 0
2 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с m-арными выходами

Всего существует простейших унарных троичных функций с m-арным выходом, то есть бесконечное число.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с m-арным (m-разрядным) результатом (выходом).

Бинарные троичные логические функции (операции, элементы)

Бинарные троичные логические функции

Всего возможно простейших бинарных (двуместных) троичных функций, некоторые из них приведены в таблице:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 Названия действий (функций) Обозначения
f(x,y) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Тождественный ноль 0(x,y) = 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 Детектор (x-y)=2 с 2 при нулях
0 0 0 0 1 1 0 1 2 CGOR[15]
0 0 0 0 2 2 0 2 1 Функция Вебба Webb(x,y)
0 0 0 2 0 0 0 2 0 Детектор (x-y)=1 с 2 при нулях
0 0 0 2 0 0 2 2 0 Детектор x>y с 2 при нулях
0 0 2 0 0 0 0 0 0 Детектор x-y=-2 с 2 при нулях
0 1 0 1 2 1 0 1 0 Mean Function Стива Грабба[16] x→y[17]
0 1 2 1 1 2 2 2 2 CGAND[18]
0 2 0 0 0 2 0 0 0 Детектор x-y=-1 с 2 при нулях
0 2 1 0 2 1 0 2 1 циклический сдвиг вперёд на 1 (1/3 оборота) только одного первого операнда СДВИГ1В(X,Y) = СДВИГ1В(Х) = SHIFT1F(X,Y) = SHIFTF(X)
0 2 1 2 1 0 1 0 2 Сложение-вычитание в троичной симметричной системе счисления в соответствии
{-1,0,+1}={0,1,2}, sum3s(x,y)
0 2 2 0 0 2 0 0 0 Детектор x<y с 2 при нулях
0 2 2 2 0 2 2 2 0 Детектор x≠y с 2 при нулях
1 0 0 2 1 0 2 2 1 Magnitude Function Стива Грабба[19]
1 0 2 0 2 1 2 1 0 Сложение по модулю 3 в несимметричной системе и в симметричной системе с соответствием {0,1,-1}={0,1,2} или {-1,0,+1}={2,0,1}, summod3ns(x,y)
1 1 0 1 0 0 0 0 0 Разряд переноса при бинарном сложении в несимметричной системе carry3n(x,y)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Тождественная единица 1(x,y) = 1
2 0 0 0 1 0 0 0 0 Разряд переноса при бинарном сложении в троичной симметричной системе счисления с соответствием {0,1,-1}={0,1,2} или {-1,0,+1}={2,0,1} carry3s(x,y)
2 0 0 0 2 0 0 0 2 Детектор x=y с 2 при нулях
2 0 0 2 2 0 2 2 2 Детектор x>=y с 2 при нулях
2 1 0 1 1 0 0 0 0 Меньшее из двух, минимум, Min Function Стива Грабба[20] min(x, y)=x↓y[21]
2 1 0 2 1 0 2 1 0 повтор только первого аргумента (операнда) ДА1(x,y) = YES1(x,y) = x
2 1 1 1 1 1 0 1 2 Троичная функция следования Брусенцова
2 1 1 1 1 1 1 1 0 Разряд переноса при бинарном сложении-вычитании в симметричной троичной системе в соответствии {-1,0,+1}={0,1,2} carry3s(x,y)
2 2 2 1 1 1 0 0 0 повтор только второго аргумента (операнда) ДА2(x,y) = YES2(x,y) = y
2 2 2 1 1 2 0 1 2 Импликация материальная
2 2 2 1 2 2 0 0 2 Импликация Гейтинга
2 2 2 1 2 2 0 1 2 Импликация Лукасевича
2 2 2 2 1 1 2 1 0 Большее из двух, максимум, Max Function Стива Грабба[22] max(x, y)=x↑y[23]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 Тождественная двойка 2(x,y) = 2
Снимок модели троичного бинарного с унарным выходом АЛУ в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов в логическом симуляторе Atanua[11]

Все 19 683 простейшие троичные бинарные функции выполняются троичным АЛУ (2Трита в 1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе Atanua приведён на рисунке справа.

x 1 0 i 1 0 i 1 0 i
y 1 1 1 0 0 0 i i i Названия действий (функций) Обозначения
f(x,y) i i i i i i i i i Тождественный ноль 0(x,y) = 0
i i i i 1 1 i 1 0 Функция Вебба Webb(x,y)
i 1 0 i 1 0 i 1 0 циклический сдвиг вперёд на 1/3 оборота только одного первого операнда СДВИГВ(X,Y) = СДВИГВ(Х) = SHIFTF(X,Y) = SHIFTF(X)
i 1 0 1 0 i 0 i 1 Сложение по модулю 3 в симметричной системе, summod3s(x,y)
i 1 1 1 i 1 1 1 i Детектор x≠y с 2 при нулях
0 i 1 i 1 0 1 0 i Сложение по модулю 3 в несимметричной системе, summod3n(x,y)
0 0 i 0 i i i i i Разряд переноса при бинарном сложении в несимметричной системе
0 0 0 0 0 0 0 0 0 Тождественный ноль 0(x,y) = 0
1 0 i 0 0 i i i i Меньшее из двух, минимум min(x,y)
1 0 i 1 0 i 1 0 i повтор только первого аргумента (операнда) ДА1(x,y) = YES1(x,y) = x
1 0 0 0 0 0 i 0 1 Троичная функция следования Брусенцова
1 0 0 0 0 0 0 0 i Разряд переноса при бинарном сложении в симметричной троичной системе
1 1 1 0 0 0 i i i повтор только второго аргумента (операнда) ДА2(x,y) = YES2(x,y) = y
1 1 1 0 0 1 i 0 1 Импликация материальная
1 1 1 0 1 1 i i 1 Импликация Гейтинга
1 1 1 0 1 1 i 0 1 Импликация Лукасевича
1 1 1 1 0 0 1 0 i Большее из двух, максимум max(x,y)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Тождественная единица 1(x,y) = 1

Логическое больше

Результат изменяется при перемене мест операндов.
Истинно=1

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
x>y 0 0 0 1 0 0 1 1 0

Истинно=2

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
x>y 0 0 0 2 0 0 2 2 0

Логическое меньше

Результат изменяется при перемене мест операндов.
Истинно=1

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
x<y 0 1 1 0 0 1 0 0 0

Истинно=2

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
x<y 0 2 2 0 0 2 0 0 0

Логическое равенство в троичной логике Лукасевича

Вычисляется eqv(x, y); x eqv y;
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
В несимметричной троичной системе счисления:
Истинно=1

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
x=y 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Истинно=2

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
x=y 2 0 0 0 2 0 0 0 2

или

   x
   ^
   |
 2 | 0  0  2
 1 | 0  2  0
 0 | 2  0  0
---+----------> y
   | 0  1  2

или в виде тринарной матрицы

в симметричной троичной системе счисления:

x 1 0 1 1 0 1 1 0 1
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1
x=y 1 1 1 1 1 1 1 1 1

или

   x
   ^
   |
 1 | 1  1  1
 0 | 1  1  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

Цифровой компаратор

Сравнивает два кода и имеет трёхзначный выход: меньше, равно, больше. Является объединением трёх предыдущих отдельных троичных бинарных функций.
Результат изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-й операнд
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-й операнд
x<y 0 2 2 0 0 2 0 0 0
x=y 2 0 0 0 2 0 0 0 2
x>y 0 0 0 2 0 0 2 2 0

Минимум (наименьшее ИЛИ)

Входит в логику Клини.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Вычисляется min(x, y).
В двоичной логике функции min(x, y) соответствует конъюнкция: x ∧ y, x И y, 2И.
В троичной несимметричной системе счисления:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
min(x,y) 2 1 0 1 1 0 0 0 0

или

   x
   ^
   |
 2 | 0  1  2
 1 | 0  1  1
 0 | 0  0  0
---+----------> y
   | 0  1  2

в троичной симметричной системе счисления:

x 1 0 1 1 0 1 1 0 1
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1
min(x,y) 1 0 1 0 0 1 1 1 1

или

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 1  0  0
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

Максимум (наибольшее ИЛИ)

Входит в логику Клини.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Вычисляется max(x, y).
В двоичной логике функции max(x, y) соответствует дизъюнкция: x ∨ y, x ИЛИ y, 2ИЛИ.
В несимметричной троичной системе счисления:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
max(x,y) 2 2 2 2 1 1 2 1 0

или

   x
   ^
   |
 2 | 2  2  2
 1 | 1  1  2
 0 | 0  1  2
---+----------> y
   | 0  1  2

или в виде тринарной матрицы

в симметричной троичной системе счисления:

x 1 0 1 1 0 1 1 0 1
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1
max(x,y) 1 1 1 1 0 0 1 0 1

или

   x
   ^
   |
 1 | 1  1  1
 0 | 0  0  1
 1 | 1  0  1
---+----------> y
   | 1  0  1

Бинарное сложение в несимметричной троичной системе счисления

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
n+1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
⊕3(x,y) 1 0 2 0 2 1 2 1 0

Сложение по модулю 3 в несимметричной троичной системе счисления

Аналог сложения по модулю 2. Название «исключающее ИЛИ» («XOR»), применяемое для «двоичного сложения по модулю 2», для «троичного сложения по модулю 3» неприемлемо, то есть оказалось поверхностным, не глубоким.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Вычисляется сумма по модулю 3: x ⊕3n y

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
⊕3n(x,y) 1 0 2 0 2 1 2 1 0

или

   x
   ^
   |
 2 |  2  0  1
 1 |  1  2  0
 0 |  0  1  2
---+----------> y
   |  0  1  2

или в виде тринарной матрицы

или

⊕3n | 0  1  2
----+----------
  0 | 0  1  2
  1 | 1  2  0
  2 | 2  0  1

или в виде тринарной матрицы

Разряд переноса при бинарном сложении в несимметричной троичной системе счисления

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
n+1 1 1 0 1 0 0 0 0 0

или в виде тринарной матрицы

Бинарное сложение в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи

x 1 0 i 1 0 i 1 0 i
y 1 1 1 0 0 0 i i i
n+1 1 0 0 0 0 0 0 0 i
⊕3s(x,y) i 1 0 1 0 i 0 i 1

Калька в троичной несимметричной системе счисления:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
n+1 2 1 1 1 1 1 1 1 0
⊕3s(x,y) 0 2 1 2 1 0 1 0 2

Сложение по модулю 3 в симметричной троичной системе счисления

x 1 0 i 1 0 i 1 0 i
y 1 1 1 0 0 0 i i i
⊕3s(x,y) i 1 0 1 0 i 0 i 1 
   x
   ^
   |
 1 |  0  1  1
 0 |  1  0  1
 1 |  1  1  0
--+----------> y
   |  1  0  1

или

 ⊕3s | -1  0 +1
---+----------
-1 | +1 -1  0
 0 | -1  0 +1
+1 |  0 +1 -1

Сложение по модулю три напоминает двоичный XOR. Это обычное сложение, только без переноса: в случае переполнения разрядной сетки оно сохраняет лишь младший троичный разряд. Как и двоичный XOR, сложение по модулю три либо оставляет троичный разряд неизменным, либо изменяет его (производит операции INC/DEC, в зависимости от знака соответствующего троичного разряда).

Эта функция может быть полезна для реализации троичного полусумматора и сумматора.

Калька в троичной несимметричной системе счисления:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
⊕3s(x,y) 0 2 1 2 1 0 1 0 2

Разряд переноса при бинарном сложении в симметричной троичной системе счисления

x 1 0 i 1 0 i 1 0 i
y 1 1 1 0 0 0 i i i
n+1 1 0 0 0 0 0 0 0 i

Калька в троичной несимметричной системе счисления:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
n+1 2 1 1 1 1 1 1 1 0

Импликации

Импликация (от лат. implicatio — сплетение, implico — тесно связываю) — логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если …, то …», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказыва­ние, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) — выска­зывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в науч­ных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путём ссылки на нечто другое. В современной логике имеется большое число импликаций, различающих­ся своими формальными свойствами:

Троичная функция следования Брусенцова

Вычисляется :
При перемене мест операндов результат изменяется.
в симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:

x 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1-е высказывание
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2-е высказывание
1 0 0 0 0 0 1 0 1 следование Брусенцова

или

   x
   ^
   |
 1 |  1  0  1
 0 |  0  0  0
 1 |  1  0  0
---+----------> y
   |  1  0  1

в несимметричной троичной системе счисления {0,1,2}:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е высказывание
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е высказывание
2 1 1 1 1 1 0 1 2 следование Брусенцова

в несимметричной троичной системе {2,0,1}:

x 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1-е высказывание
y 1 1 1 0 0 0 2 2 2 2-е высказывание
1 0 0 0 0 0 2 0 1 следование Брусенцова

Импликация материальная

Материальная импликация — одна из основных связок классической логики. Определяется она таким образом: импликация ложна только в случае истинности основания (антецедента) и ложности следствия (консеквента), а истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «если x, то y» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чём говорится в x и y; выражение «x материально имплицирует y» такой связи не предполагает.

Вычисляется импликация материальная max(−x, y); ; x' ∨ y :
При перемене мест операндов результат изменяется.

в симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:

x 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1-е высказывание
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2-е высказывание
1 1 1 0 0 1 1 0 1 Импликация материальная

или

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 0  0  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

в несимметричной троичной системе счисления {0,1,2}:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е высказывание
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е высказывание
2 2 2 1 1 2 0 1 2 Импликация материальная

Импликация Гейтинга

Это часть многозначной логики. Логика Гейтинга охватывала лишь часть классической формальной логики.

Имп­ликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически даёт построение q. Например, из истинности высказывания p следует «неверно, что p ложно». Но из утверждения «неверно, что p ложно» ещё не следует, что p — истинно, так как высказывание p может оказаться неконструктивным.
При перемене мест операндов результат изменяется.
В симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 1  1  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1
x 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1-е высказывание
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2-е высказывание
1 1 1 0 1 1 1 1 1 Импликация Гейтинга

В несимметричной троичной системе счисления {0,1,2}:

x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е высказывание
y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е высказывание
2 2 2 1 2 2 0 0 2 Импликация Гейтинга

Импликация Лукасевича

[24][25] Это часть модальной логики.
При перемене мест операндов результат изменяется.
В симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 0  1  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1
x 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1-е высказывание
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2-е высказывание
1 1 1 0 1 1 1 0 1 Импликация Лукасевича

В несимметричной троичной системе счисления {0,1,2}:

x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е высказывание
y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е высказывание
2 2 2 1 2 2 0 1 2 Импликация Лукасевича

Логическое сложение по модулю 3 при неполном втором слагаемом

Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
0 2 1 2 1 0 Сумма по модулю 3

или в виде тринарной матрицы

Разряд переноса при сложении с неполным вторым слагаемым

Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
1 0 0 0 0 0 Перенос в n+1

или в виде тринарной матрицы

Функция Вебба

Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Вычисляется Webb(x, y) = x | y = ROTF(x ∨ y) = RotF(max(x, y)) = Inc(max(x, y)):
в несимметричной троичной системе счисления {0,1,2}:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
Webb(x,y) 0 0 0 0 2 2 0 2 1

или

   x
   ^
   |
 2 |  0  0  0
 1 |  2  2  0
 0 |  1  2  0
---+----------> y
   |  0  1  2

или в виде тринарной матрицы

в симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:

   x
   ^
   |
 1 |  1  1  1
 0 |  1  1  1
 1 |  0  1  1
---+----------> y
   |  1  0  1
x 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1-е высказывание
y 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2-е высказывание
1 1 1 1 1 1 1 1 0 функция Вебба

Функция Вебба интересна тем, что с помощью неё, подобно штриху Шеффера и стрелке Пирса в двухзначной логике, можно выразить любые трёхзначные функции:

Одноместные:

  • RotF(X) = X | X
  • RotB(X) = RotF(RotF(X), RotF(X)) = (X | X) | (X | X)
  • NOT(X) = (RotB(X) | RotF(X) | RotF(RotB(X) | X))

Двухместные:

  • X ∨ Y = RotB(X | Y).
  • X ∧ Y = Not(Not(X) ∨ Not(Y))

Вполне возможно, что именно логическим элементам, реализующим функцию Вебба, придётся сыграть роль троичных ЛА3’их (ИС SN7400, 4 логических элемента 2И-НЕ[26]). И от качества реализации этой функции, количества транзисторов будет зависеть эффективность будущих троичных процессоров.

Впрочем, функция ROTB(X ∨ Y) (а возможно, что и ROTF(X ∧ Y), ROTB(X ∧ Y)) ничем не хуже. Вопрос лишь в том, какую из них мы сможем реализовать наиболее эффективно.

Бинарные функционально полные логические базисы в троичной симметричной системе {-1,0,+1}:

  • MAX, СДВИГВ, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГВ, НЕЛ+1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГВ, НЕЛ-1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГВ, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГВ, НЕЛ+1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГВ, НЕЛ-1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГН, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГН, НЕЛ+1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГН, НЕЛ-1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГН, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГН, НЕЛ+1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГН, НЕЛ-1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике

Бинарные функционально полные логические базисы в троичных несимметричных системах {2,0,1} и {0,1,2}:

  • MAX, СДВИГВ, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГВ, НЕЛ1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГВ, НЕЛ2 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГВ, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГВ, НЕЛ1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГВ, НЕЛ2 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГН, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГН, НЕЛ1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MAX, СДВИГН, НЕЛ2 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГН, НЕЛ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГН, НЕЛ1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
  • MIN, СДВИГН, НЕЛ2 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике

Бинарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным выходом

Снимок модели бинарного с бинарным выходом АЛУ в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов в логическом симуляторе Atanua[11]

Всего возможно простейших бинарных с бинарным выходом троичных функций (2Трита-2Трита).

Все 387 420 489 простейших троичных бинарных с бинарным выходом функций выполняются АЛУ в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, приведённым на рисунке справа.

Троичный полусумматор с неполным вторым слагаемым

Первая ступень полного троичного сумматора.
Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
1 0 0 0 0 0 Перенос в n+1
0 2 1 2 1 0 Сумма по модулю 3

Результат операции занимает 1 и 2/3 троичных разряда.

Троичный полусумматор в несимметричной троичной системе счисления

Троичное логическое сложение двух троичных разрядов с разрядом переноса в несимметричной троичной системе счисления.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Троичный полусумматор можно рассматривать, как объединение двух бинарных троичных функций: «логического сложения по модулю 3 в троичной несимметричной системе счисления» и «разряд переноса при сложении двух полных троичных разрядов в троичной несимметричной системе счисления».
В отличие от предыдущих бинарных троичных функций с одноразрядным результатом, результат функции занимает 1 и 2/3 троичных разрядов, так как при сложении в троичной несимметричной системе в разряде переноса не бывает значения больше единицы.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
Перенос в n+1, несимметричный 1 1 0 1 0 0 0 0 0
Сумма по модулю 3, несимметричная 1 0 2 0 2 1 2 1 0
Снимок модели троичного полусумматора в несимметричной троичной системе счисления в трёхбитной одноединичной системе логических элементов в логическом симуляторе Atanua[27].

или в виде матрицы

Троичный полусумматор-полувычитатель в симметричной троичной системе счисления

Троичное логическое сложение-вычитание двух троичных разрядов с разрядом переноса в симметричной троичной системе счисления.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Троичный полусумматор-полувычитатель можно рассматривать, как объединение двух бинарных троичных функций: «логического сложения-вычитания по модулю 3 в троичной симметричной системе счисления» и «разряд переноса при сложении-вычитании двух полных троичных разрядов в троичной симметричной системе счисления».
В отличие от сложения и вычитания в троичной несимметричной системе счисления, результат функции занимает 2 троичных разряда, так как при сложении-вычитании в троичной симметричной системе в разряде переноса бывает двойка.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое-вычитаемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое-вычитаемое
Перенос в n+1 разряд, симметричный 2 1 1 1 1 1 1 1 0
Сумма-разность по модулю 3, симметричная 0 2 1 2 1 0 1 0 2
Снимок модели одноразрядного троичного симметричного полусумматора-полувычитателя в трёхбитной системе логических элементов в логическом симуляторе Atanua[27].

или в виде матрицы

Бинарные троичные логические функции с нонарным результатом (выходом)

Всего возможно ≈ простейших бинарных троичных функций с нонарным результатом (выходом).

Троичный дешифратор «2 трита в 9 строк»

Результат изменяется при перемене мест операндов.
Можно рассматривать как объединение девяти бинарных троичных функций с унарными результатами.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0
8 1 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 1 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 1 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 1 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 1 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Бинарные троичные логические функции с m-арными результатами (выходами)

Всего возможно бинарных троичных функций с m-арным выходом, то есть бесконечное число.

К этим функциям относятся бинарные (двухразрядные) дешифраторы и демультиплексоры с m-арными (m-разрядными) выходами.

Тринарные троичные логические функции (операции, элементы)

Тринарные троичные логические операции (функции) с унарным выходом

Всего возможно (7 триллионов 625 миллиардов 597 миллионов 484 тысячи 987) простейших тринарных (триарных) троичных функций с унарным выходом.

Минимум

Вычисляется min(x, y, z)
27 входных комтринаций
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-й аргумент (операнд)
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-й аргумент (операнд)
z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-й аргумент (операнд)
2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 результат min(x,y,z)

Максимум

Вычисляется max(x, y, z)
27 входных комтринаций
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-й аргумент (операнд)
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-й аргумент (операнд)
z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-й аргумент (операнд)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 результат max(x,y,z)

Равенство

Вычисляется равенство всех трёх операндов x=y=z; eq20(x, y, z)
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-й аргумент (операнд)
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-й аргумент (операнд)
z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-й аргумент (операнд)
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 результат eq20(x,y,z)

Единица переноса при полном троичном сложении в несимметричной троичной системе счисления

Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Перенос из n-1
1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Перенос в n+1

Троичный сумматор по модулю 3 при полном троичном сложении в несимметричной троичной системе счисления

Полное троичное сложение — тринарная (трёхоперандная) троичная функция учитывающая единицу переноса из предыдущего разряда.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Перенос из n-1
2 1 0 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 Сумма по модулю 3

Тринарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным (двухразрядным) результатом (выходом)

Всего возможно (58 септиллионов 149 секстиллионов 737 квинтиллионов 003 квадриллиона 040 триллионов 059 миллиардов 690 миллионов 390 тысяч 169) простейших тринарных (триарных) троичных функций с бинарным выходом. Из этого числа наибольшую значимость имеют такие тринарные троичные функции, имеющие собственные названия, как сумматоры, шифраторы, дешифраторы, мультиплексоры, демультиплексоры.

Троичный сумматор

Полное троичное логическое сложение с переносом в несимметричной троичной системе счисления

Полный троичный одноразрядный сумматор является неполной тринарной троичной логической функцией, так как в разряде переноса только два значения 0 и 1. В отличие от предыдущих троичных тринарных функций с одноразрядным результатом, результат имеет длину 1 и 2/3 троичных разряда.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Перенос из n-1
1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 СЗР суммы, перенос в n+1 разряд
2 1 0 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 МЗР суммы, сумма по модулю 3
Снимок модели одноразрядного полного троичного сумматора в троичной несимметричной системе счисления в трёхбитной одноединичной системе логических элементов в логическом симуляторе Atanua[27].

В разряде переноса не бывает третьего значения троичного разряда (2), так как в «худшем» случае , то есть в старшем разряде «1». Единица переноса возникает в 9-ти случаях из 18.
Как в двоичной логике двоичный тринарный полный сумматор заменяется двумя бинарными полусумматорами, так и в троичной логике троичный тринарный полный сумматор можно заменить на два троичных бинарных полусумматора, только с той разницей, что два двоичных бинарных полусумматора одинаковые, а два троичных бинарных полусумматора разные.
1. Один полусумматор полный бинарный («сложение двух полных троичных разрядов»). Второй полусумматор — не полный бинарный («сложение одного полного троичного разряда с неполным троичным разрядом (с 2/3 от полного троичного разряда)»), так как в разряде переноса не бывает значений больших чем «1».
2. Один неполный бинарный «сложение 1 троичного разряда с 2/3 троичного разряда». Второй бинарный несимметричный «сложение 1 троичного разряда с 1 и 2/3 троичного разряда». Результат — двухразрядный длиной 1 и 2/3 троичных разряда.

Троичный вычитатель

Полное троичное логическое вычитание с займом в несимметричной троичной системе счисления

Полный троичный одноразрядный вычитатель является неполной тринарной троичной логической функцией, так как в разряде займа только два значения 0 и 1. Результат имеет длину 1 и 2/3 троичных разряда.
Результат изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 уменьшаемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е вычитаемое
z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2-е вычитаемое, заём в n-1
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 СЗР разности, заём из n+1 разряда
2 1 0 0 2 1 1 0 2 0 2 1 1 0 2 2 1 0 МЗР разности, разность по модулю 3

В разряде займа не бывает третьего значения троичного разряда (2), так как в «худшем» случае , то есть в старшем разряде «1». Единица займа возникает в 9-ти случаях из 18.

Троичный сумматор-вычитатель

В отличие от несимметричной троичной системы счисления, в которой сумматор и вычитатель являются разными логическими функциями, в троичной симметричной системе счисления (Фибоначчи) сложение и вычитание выполняются одной троичной функцией и, следовательно, одним устройством — сумматором-вычитателем.

Полное троичное логическое сложение-вычитание с переносом в симметричной троичной системе счисления
Снимок модели одноразрядного полного троичного сумматора в троичной симметричной системе счисления (Фибоначчи) в трёхбитной одноединичной системе логических элементов в логическом симуляторе Atanua[27].
Снимок модели троичного тринарного (трёхоперандного, полного) сумматора-вычитателя в троичной симметричной системе счисления Фибоначчи в двухбитной системе троичных логических элементов в логическом симуляторе Atanua[27].

В отличие от сложения в несимметричной троичной системе счисления при сложении в симметричной троичной системе счисления в разряде переноса может быть три значения (0, 1 и −1), поэтому число комтринаций увеличивается с 18 до 27.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.

x 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1-е слагаемое
y 1 1 1 0 0 0 i i i 1 1 1 0 0 0 i i i 1 1 1 0 0 0 i i i 2-е слагаемое
z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i i i i i i i i Перенос из n-1
1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 i 0 i i СЗР, перенос в n+1
0 i 1 i 1 0 1 0 i i 1 0 1 0 i 0 i 1 1 0 i 0 i 1 i 1 0 мл. знач. разр. суммы

перенос (1 или −1) возникает в 8-ми случаях из 27, четыре раза −1 и четыре раза 1,

или кальки в несимметричной троичной системе с соответствием {-1,0,1}={0,1,2}:

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое
z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Перенос из n-1
2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 СЗР, перенос в n+1
1 0 2 0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 0 2 1 мл. знач. разр. суммы

с соответствием {0,1,-1}={0,1,2}:

x 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1-е слагаемое
y 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 2-е слагаемое
z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Перенос из n-1
1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 2 СЗР, перенос в n+1
0 2 1 2 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 мл. знач. разр. суммы

и с другими оставшимися 4-мя соответствиями.
Ноль в разряде переноса возникает в 4-х случаях, единица в разряде переноса возникает в 18-ти случаях, двойка в разряде переноса возникает в 4-х случаях.

Троичный дешифратор «2 и 2/3 трита в 18 строк»

Можно рассматривать как объединение 18 тринарных (триарных) троичных функций с унарными результатами (выходами).
Результат изменяется при перемене мест операндов.

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0
z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Троичный дешифратор «3 трита в 27 строк»

Можно рассматривать как объединение 27 тринарных (триарных) троичных функций с унарными результатами (выходами).

Тринарные троичные функции с тринарным выходом

Всего возможны ≈4.43*1038 простейших тринарных троичных функций с тринарным выходом

Троичная сортировка убывающая

Сравнивает три трита и расставляет их по старшинству убывающе

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е сортируемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е сортируемое
z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-е сортируемое
f(10,10,222222222 222211211 222211210)3(x,y,z) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 наибольшее
f(10,10,222211210 211111110 210110000)3(x,y,z) 2 2 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 среднее
f(10,10,210110000 110110000 000000000)3(x,y,z) 2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 наименьшее

Троичная сортировка возрастающая

Сравнивает три трита и расставляет их по старшинству возрастающе

x 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е сортируемое
y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е сортируемое
z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-е сортируемое
f(10,10,210110000 110110000 000000000)3(x,y,z) 2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 наименьшее
f(10,10,222211210 211111110 210110000)3(x,y,z) 2 2 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 среднее
f(10,10,222222222 222211211 222211210)3(x,y,z) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 наибольшее

N-арные троичные логические функции

N-арные троичные логические функции

Всего возможно простейших n-арных троичных функций.

К этим функциям относятся шифраторы и мультиплексоры.


Примечания

  1. http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
  2. Circuits. Logic Families. Ternary. Complement(F210)
  3. http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
  4. http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
  5. Circuits. Logic Families. Ternary. F220
  6. http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
  7. http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
  8. Circuits. Logic Families. Ternary. F211
  9. Circuits. Logic Families. Ternary. F221
  10. http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
  11. ↑ http://andserkul.narod2.ru/troichnie_alu/ А. С. Куликов. Троичные АЛУ
  12. http://web.archive.org/web/20080611055612/http://www.trinary.cc/ Веб архив. Сайт Стива Грабба Trinary.cc
  13. ↑ http://jeff.tk:81/wiki/Trinary/Logic A.3.1. Constant Functions. Table A.3. Constant Functions и A.3.2. One-to-one Functions. Table A.4. One-to-one Functions
  14. ↑ http://jeff.tk:81/wiki/Trinary/Logic A.3.2. One-to-one Functions. Table A.4. One-to-one Functions
  15. Circuit. Logic Families. Ternary. CGOR
  16. http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
  17. http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
  18. Circuit. Logic Families. Ternary. CGAND
  19. http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
  20. http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
  21. http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
  22. http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
  23. http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
  24. ↑ http://www.pcmag.ru/solutions/sub_detail.php?ID=1985&SUB_PAGE=4 Суждение и вычисление: не исключая третье. Александр Рябцев. Импликация Лукасевича
  25. http://society.polbu.ru/tvardovsky_lvovwarsawphilo/ch43_i.html К. Твардовский. Львовско-Варшавская философская школа. Исторические исследования логики Я.Лукасевичем
  26. http://www.inp.nsk.su/~kozak/ttl/ttlh01.htm Справочник по стандартным цифровым ТТЛ микросхемам
  27. ↑ http://andserkul.narod2.ru/troichnie_summatori/ А. С. Куликов. Троичные сумматоры

Троичные функции.

© 2014–2023 light-industry-up.ru, Россия, Краснодар, ул. Листопадная 53, +7 (861) 501-67-06